Convergenza di una serie a termini positivi
Innanzi tutto buonasera a tutti.
Propongo questo esercizio:
determinare il carattere della serie al variare del parametro
$\sum_{k=1}^N |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))|^\alpha$
Per prima cosa ho provato a sciogliere l'esponente reale scrivendo
$\sum_{k=1}^N |(e^(sqrt(2)ln(n^3 + 3n^2))) -(e^(sqrt(2)ln(n^3 +3)))|^\alpha$
Ma non riesco a trovare una stima asintotica.
Grazie a tutti
Propongo questo esercizio:
determinare il carattere della serie al variare del parametro
$\sum_{k=1}^N |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))|^\alpha$
Per prima cosa ho provato a sciogliere l'esponente reale scrivendo
$\sum_{k=1}^N |(e^(sqrt(2)ln(n^3 + 3n^2))) -(e^(sqrt(2)ln(n^3 +3)))|^\alpha$
Ma non riesco a trovare una stima asintotica.
Grazie a tutti
Risposte
Proverei a scrivere il termine generale in questo modo:
\begin{align}
\left|(n^3+3n^2)^{\sqrt2}-(n^3+3)^{\sqrt2}\right|^{\alpha}=\left|(n^2)^{\sqrt2}(n+3)^{\sqrt2}-(n+\sqrt3)^{\sqrt2}(n^2-\sqrt3n+3)^{\sqrt2}\right|^{\alpha}
\end{align}
\begin{align}
\left|(n^3+3n^2)^{\sqrt2}-(n^3+3)^{\sqrt2}\right|^{\alpha}=\left|(n^2)^{\sqrt2}(n+3)^{\sqrt2}-(n+\sqrt3)^{\sqrt2}(n^2-\sqrt3n+3)^{\sqrt2}\right|^{\alpha}
\end{align}
Grazie, ma non mi tornano i conti nella fattorizzazione di $n^3+3$.
A me viene:
$n^3+3=(n+root(3)(3))(n^2 -nroot(3)(3)+root(3)(3^2)) $
Una volta riscritto in questo modo il termine generale come si procede?
A me viene:
$n^3+3=(n+root(3)(3))(n^2 -nroot(3)(3)+root(3)(3^2)) $
Una volta riscritto in questo modo il termine generale come si procede?
si scusa ho scritto dal cellulare e mi sono incasinato ... con i codici ....
nessun problema, più che altro non so davvero come procedere...
Ciao 
Io farei così:
$|(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|$ per $n->+oo$
Basta studiare $a_n = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|^\alpha$
Spero di non aver detto stupidaggini
Io farei così:
$|(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|$ per $n->+oo$
Basta studiare $a_n = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|^\alpha$
Spero di non aver detto stupidaggini
Dunque la nostra successione è asintoticamente equivalente a $ a_n = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|^\alpha $,
ovvero a $ a_n = (n^(3*sqrt(2)*alpha))$
la quale converge per confronto con la serie armonica se e solo se $\alpha<-sqrt(2)/6$
Grazie Schocker!
ovvero a $ a_n = (n^(3*sqrt(2)*alpha))$
la quale converge per confronto con la serie armonica se e solo se $\alpha<-sqrt(2)/6$
Grazie Schocker!
"EDODEI":
Dunque la nostra successione è asintoticamente equivalente a $ a_n = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|^\alpha $,
ovvero a $ a_n = (n^(3*sqrt(2)*alpha))$
la quale converge per confronto con la serie armonica se e solo se $\alpha<-sqrt(2)/6$
Grazie Schocker!
Yep
Di nulla
Ciao! Rileggendo la discussione mi sono accorto di aver commesso un errore grave :/
^ Non è assolutamente vero, ti chiedo scusa per la svista!
Il problema è ancora aperto! Appena ho un po' di tempo rifaccio i conti.
Chiedo ancora scusa! :/
"Shocker":
Ciao
Io farei così:
$|(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|$ per $n->+oo$
Basta studiare $a_n = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))|^\alpha$
Spero di non aver detto stupidaggini
^ Non è assolutamente vero, ti chiedo scusa per la svista!
Il problema è ancora aperto! Appena ho un po' di tempo rifaccio i conti.
Chiedo ancora scusa! :/
Rieccomi
Allora, ho rifatto i conti... spero di non aver sbagliato di nuovo
$\sum_{k=1}^N |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))|^\alpha $
Vediamo di trovare una stima asintotica
$|(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((n^3 + 3n^2)/(n^3 + 3))^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ( (n^3 + 3n^2)/(n^3 + 3) + 1 - 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((n^3 + 3n^2 -(n^3+3))/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)|$, ok ora riflettiamo un attimo su $((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1$, se moltiplichiamo e dividiamo per $(3n^2 -3)/(n^3 + 3)$ otteniamo una cosa del genere:
$(((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)/((3n^2 -3)/(n^3 + 3)) * ((3n^2 -3)/(n^3 + 3))$... sembra tanto un limite notevole: $lim_{x->0} ((1+x)^\alpha - 1)/x = \alpha$, quindi tornando ad $a_n$ abbiamo che:
$|(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))((((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)/((3n^2 -3)/(n^3 + 3)) )* ((3n^2 -3)/(n^3 + 3))| ~~ n^(3*sqrt(2))*sqrt(2)*1/n$
per $n->+oo$
In sostanza basta studiare il comportamento di $sum_{n=1}^N |sqrt(2)*n^(3*sqrt(2) - 1)|^\alpha$
Che converge per $(3*sqrt(2) - 1)\alpha < -1$.
Spero di non aver fatto errori, anche se è l'una
Buonanotte
Allora, ho rifatto i conti... spero di non aver sbagliato di nuovo
$\sum_{k=1}^N |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))|^\alpha $
Vediamo di trovare una stima asintotica
$|(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((n^3 + 3n^2)/(n^3 + 3))^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ( (n^3 + 3n^2)/(n^3 + 3) + 1 - 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((n^3 + 3n^2 -(n^3+3))/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)|$, ok ora riflettiamo un attimo su $((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1$, se moltiplichiamo e dividiamo per $(3n^2 -3)/(n^3 + 3)$ otteniamo una cosa del genere:
$(((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)/((3n^2 -3)/(n^3 + 3)) * ((3n^2 -3)/(n^3 + 3))$... sembra tanto un limite notevole: $lim_{x->0} ((1+x)^\alpha - 1)/x = \alpha$, quindi tornando ad $a_n$ abbiamo che:
$|(n^3 +3)^(sqrt(2))( ((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)| = |(n^3 +3)^(sqrt(2))((((3n^2 -3)/(n^3 + 3) + 1)^(sqrt(2)) - 1)/((3n^2 -3)/(n^3 + 3)) )* ((3n^2 -3)/(n^3 + 3))| ~~ n^(3*sqrt(2))*sqrt(2)*1/n$
per $n->+oo$
In sostanza basta studiare il comportamento di $sum_{n=1}^N |sqrt(2)*n^(3*sqrt(2) - 1)|^\alpha$
Che converge per $(3*sqrt(2) - 1)\alpha < -1$.
Spero di non aver fatto errori, anche se è l'una
Buonanotte
Ok grazie, mi sono chiari i nuovi passaggi, ma non vedo in cosa risieda l'errore nell'affermare che:
$ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))| $ per $ n->+oo $
EDIT: ah già, ovviamente $(n^3 +3)/(n^3 + 3n^2)$ non tende a zero per n grandi, ma a 1.
$ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))| $ per $ n->+oo $
EDIT: ah già, ovviamente $(n^3 +3)/(n^3 + 3n^2)$ non tende a zero per n grandi, ma a 1.
"EDODEI":
Ok grazie, mi sono chiari i nuovi passaggi, ma non vedo in cosa risieda l'errore nell'affermare che:
$ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))-(n^3 +3)^(sqrt(2))| = |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))(1 - ( (n^3 +3)^(sqrt(2)) )/(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2)))| ~~ |(n^3 + 3n^2)^(sqrt(2))| $ per $ n->+oo $
Non è vero perché $lim_{n->+oo} a_n/(|(n^3 + 3n^2)^sqrt(2)|) = 0 != 1$ e quindi $|(n^3 + 3n^2)^sqrt(2)|$ non è asintotica ad $a_n$
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