Convergenza di una serie a termini di segno alterno
Buongiorno a tutti.
So che condizione sufficiente per la convergenza di una serie di segno alterno è il criterio di Leibniz. Ora, mi ritrovo davanti a questa serie:
$\sum_{n=1}^\infty\ (-1)^n n^3/3^n$
Applicando il criterio di Leibniz:
1) Il termine $a_n$ della serie è infinitesimo; per risolvere il limite ho considerato $3^n$ infinito di ordine superiore.
2) Come faccio a capire se è decrescente, per stabilire quindi, secondo Leibniz, che la serie converge semplicemente?
Inoltre: ho studiato la convergenza assoluta, utilizzando il criterio della radice
$\lim_{n \to \infty}root(n)(a_n$ = $root(n)(n^3/root(n)(3^n)$ = $root(n)(n^3/3
Che, per n tendente a $oo$, tende a $oo$, dunque per il criterio della radice diverge. Ergo, non converge assolutamente.
volevo capire se ho commesso errori in qualche passaggio, e soprattutto come applicare Leibniz nella parte che richiede la verifica di crescenza o decrescenza.
Grazie per ogni eventuale aiuto
So che condizione sufficiente per la convergenza di una serie di segno alterno è il criterio di Leibniz. Ora, mi ritrovo davanti a questa serie:
$\sum_{n=1}^\infty\ (-1)^n n^3/3^n$
Applicando il criterio di Leibniz:
1) Il termine $a_n$ della serie è infinitesimo; per risolvere il limite ho considerato $3^n$ infinito di ordine superiore.
2) Come faccio a capire se è decrescente, per stabilire quindi, secondo Leibniz, che la serie converge semplicemente?
Inoltre: ho studiato la convergenza assoluta, utilizzando il criterio della radice
$\lim_{n \to \infty}root(n)(a_n$ = $root(n)(n^3/root(n)(3^n)$ = $root(n)(n^3/3
Che, per n tendente a $oo$, tende a $oo$, dunque per il criterio della radice diverge. Ergo, non converge assolutamente.
volevo capire se ho commesso errori in qualche passaggio, e soprattutto come applicare Leibniz nella parte che richiede la verifica di crescenza o decrescenza.
Grazie per ogni eventuale aiuto
Risposte
Buongiorno anche a te.
Attenzione, il limite a numeratore è 1, non infinito. E' un classico, la radice ennesima di n.
Quindi sei certo che la serie converge assolutamente.
Il criterio di Leibniz ti da in più una buona stima dell'errore.
Per provare la decrescenza, una possibilità è anche studiare:
$f(x) = x^3/3^x$.
Se questa decresce su un intervallo del tipo $[a,+\oo[$, ne viene subito (basta usare la definizione!!!) che $n^3/3^n$ decresce su $[[a]+1,+\oo[$
Attenzione, il limite a numeratore è 1, non infinito. E' un classico, la radice ennesima di n.
Quindi sei certo che la serie converge assolutamente.
Il criterio di Leibniz ti da in più una buona stima dell'errore.
Per provare la decrescenza, una possibilità è anche studiare:
$f(x) = x^3/3^x$.
Se questa decresce su un intervallo del tipo $[a,+\oo[$, ne viene subito (basta usare la definizione!!!) che $n^3/3^n$ decresce su $[[a]+1,+\oo[$
ciao!
Per vedere se $a_n$ è decrescente o meno io ne calcolerei la derivata prima. A me risulta, quindi, che $a_n$ è crescente per ogni valore di $n$.. quindi la serie è non è convergente semplicemente.
Spero di non averti detto cavolate..
Per vedere se $a_n$ è decrescente o meno io ne calcolerei la derivata prima. A me risulta, quindi, che $a_n$ è crescente per ogni valore di $n$.. quindi la serie è non è convergente semplicemente.
Spero di non averti detto cavolate..
Grazie per le risposte solerti!
Fioravante Patrone, per la radice n-esima sto sbattendo la testa contro il muro perchè è stata una svista piuttosto grave
Non mi è chiaro però cosa intendi per "basta usare la definizione".
Di solito quando applico Leibniz, e mi trovo a dover verificare se cresce o descresce, verifico se $a_(n+1)$ < $a_n$. Tale procedura mi riesce semplice con le fratte del tipo $1/n$ dove è subito evidente che al crescere del denominatore, decresce il termine generico.
Nel caso sopracitato ragionando allo stesso modo non arrivo da nessuna parte, perchè ottengo $(n+1)^3/3^(n+1)$, e non sono in grado di dire se è più piccolo di $a_n$.
Un'altra cosa: sapendo che converge assolutamente, non è detto che converga anche semplicemente? Nel senso, io studio la convergenza assoluta, e se converge assolutamente posso risparmiarmi Leibniz..
mirko999: ho provato a calcolare la derivata prima, ma non ne ho cavato un ragno dal buco
Fioravante Patrone, per la radice n-esima sto sbattendo la testa contro il muro perchè è stata una svista piuttosto grave
Non mi è chiaro però cosa intendi per "basta usare la definizione".
Di solito quando applico Leibniz, e mi trovo a dover verificare se cresce o descresce, verifico se $a_(n+1)$ < $a_n$. Tale procedura mi riesce semplice con le fratte del tipo $1/n$ dove è subito evidente che al crescere del denominatore, decresce il termine generico.
Nel caso sopracitato ragionando allo stesso modo non arrivo da nessuna parte, perchè ottengo $(n+1)^3/3^(n+1)$, e non sono in grado di dire se è più piccolo di $a_n$.
Un'altra cosa: sapendo che converge assolutamente, non è detto che converga anche semplicemente? Nel senso, io studio la convergenza assoluta, e se converge assolutamente posso risparmiarmi Leibniz..
mirko999: ho provato a calcolare la derivata prima, ma non ne ho cavato un ragno dal buco
"ReA":Mi riferisco al passaggio dalla decrescenza su R a quella su N.
Non mi è chiaro però cosa intendi per "basta usare la definizione".
"ReA":Try hard, and you will succeed
Di solito quando applico Leibniz, e mi trovo a dover verificare se cresce o descresce, verifico se $a_(n+1)$ < $a_n$. Tale procedura mi riesce semplice con le fratte del tipo $1/n$ dove è subito evidente che al crescere del denominatore, decresce il termine generico.
Nel caso sopracitato ragionando allo stesso modo non arrivo da nessuna parte, perchè ottengo $(n+1)^3/3^(n+1)$, e non sono in grado di dire se è più piccolo di $a_n$.
"ReA":Ma mannaggia la miseria! Voi giovincelli non siete più abituati a leggere(*)???
Un'altra cosa: sapendo che converge assolutamente, non è detto che converga anche semplicemente? Nel senso, io studio la convergenza assoluta, e se converge assolutamente posso risparmiarmi Leibniz..
Ovvio che se converge assolutamente allora converge semplicemente.
Ma io notavo questo:
Il criterio di Leibniz ti da in più una buona stima dell'errore.
[size=75](*) grazie, avevo bisogno di dire la mia cattiveria quotidiana.[/size]
hai tutto il diritto di insultarmi, in matematica sono uno zero.No, chiedevo solo una conferma. Quel "try hard and you'll succeed" significa che partendo da $a_(n+1)$ anche nel caso in esame posso arrivare a dire se è crescente o decrescente?
Si lo so, non ti libererai facilmente della mia pedanteria
"ReA":Veramente mi riferivo alla lettura (leggere, scrivere, far di conto). [size=75]Nota: due cattiverie sono meglio che una[/size]
:lol: hai tutto il diritto di insultarmi, in matematica sono uno zero.
"ReA":Sì. Prova a considerare degli n "grossi". Magari n=10. Vedi cosa succede.
Quel "try hard and you'll succeed" significa che partendo da $a_(n+1)$ anche nel caso in esame posso arrivare a dire se è crescente o decrescente?
Per esempio, calcolati il rapporto fra $a_11$ e $a_10$.
E prova poi a dimostrare quanto richiesto.
"ReA":hehe, sono moderatore, ti chiudo in faccia tutti i post che voglio
Si lo so, non ti libererai facilmente della mia pedanteria
scusate.. ma ho sbagliato tutto nella mia precedente risposta!!
La derivata della funzione è $(3x^2*3^x - x^3*3^x*ln3)/3^(2x)$ (prima avevo calcolato una derivata che era sbagliata!!)
Quindi si vede che il denominatoree è sempre >0 mentre il numeratore è >0 quando $x<3/ln3$.
( infatti si può dividere tutto il numeratore per $3^x$ che è sempre >0 e poi raccogliere $x^2$ e risolvere la disequazione).
Affinchè la derivata prima sia quindi negativa ( per avere la funzione decrescente) si ricava che l'intervallo di decrescenza è $ x > 3/ln3$
ho provato a calcolare la derivata prima, ma non ne ho cavato un ragno dal buco
La derivata della funzione è $(3x^2*3^x - x^3*3^x*ln3)/3^(2x)$ (prima avevo calcolato una derivata che era sbagliata!!)
Quindi si vede che il denominatoree è sempre >0 mentre il numeratore è >0 quando $x<3/ln3$.
( infatti si può dividere tutto il numeratore per $3^x$ che è sempre >0 e poi raccogliere $x^2$ e risolvere la disequazione).
Affinchè la derivata prima sia quindi negativa ( per avere la funzione decrescente) si ricava che l'intervallo di decrescenza è $ x > 3/ln3$
"Fioravante Patrone":
Veramente mi riferivo alla lettura (leggere, scrivere, far di conto). [size=75]Nota: due cattiverie sono meglio che una[/size]
Sì. Prova a considerare degli n "grossi". Magari n=10. Vedi cosa succede.
Per esempio, calcolati il rapporto fra $a_11$ e $a_10$.
E prova poi a dimostrare quanto richiesto.
hehe, sono moderatore, ti chiudo in faccia tutti i post che voglio
Perfetto, quadra tutto. Rinnovo i miei ringraziamenti per l'aiuto.
[size=75]però sei malvagio[/size]
Grazie anche a te mirko999! Mi quadra anche con la derivata
"ReA":
[size=75]però sei malvagio[/size]
Grazie mille!
Sfrutto il topic già aperto per un'altra serie che mi crea problemi.
$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n 1/(cosn + 3n)
Non mi vengono idee su come procedere. Se il coseno fosse al numeratore farei immediatamente un confronto e risolverei l'esercizio, perchè $a_n$ sarebbe minorante di una serie armonica convergente. Peccato che la funzione trigonometrica sia al denominatore! Esprimo ancora gratitudine per qualsiasi aiuto.. ciao!
$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n 1/(cosn + 3n)
Non mi vengono idee su come procedere. Se il coseno fosse al numeratore farei immediatamente un confronto e risolverei l'esercizio, perchè $a_n$ sarebbe minorante di una serie armonica convergente. Peccato che la funzione trigonometrica sia al denominatore! Esprimo ancora gratitudine per qualsiasi aiuto.. ciao!
Il "coseno " conta proprio poco , oscilla sempre tra $-1 $ e $ +1 $ e quando $ n $ è grande che effetto ha ? nessuno...
quindi $a_n $ è infinitesimo, e decrescente ....
quindi $a_n $ è infinitesimo, e decrescente ....
"Camillo":
Il "coseno " conta proprio poco , oscilla sempre tra $-1 $ e $ +1 $ e quando $ n $ è grande che effetto ha ? nessuno...
quindi $a_n $ è infinitesimo, e decrescente ....
Dunque $1/(cosn + 3n)$ $\sim$ $1/(3n)$ ?
In tal caso l'esercizio si risolve con semplicità
Grazie ancora per l'ennesimo aiuto!
Esatto . Quindi la serie converge, ma non assolutamente in quanto asintotica alla serie armonica.
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