Convergenza di una serie a segni alterni
Consideriamo la serie
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \]
Premetto che questa serie diverge. Ragionando però nel modo che segue, arrivo a concludere che converge.
La serie è a segni alterni. Poi, $ \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \sim n^{-\frac{1}{2}} $, pertanto converge per il criterio di Leibniz.
Per caso l'errore c'entra col fatto che, asintoticamente per $ n \rightarrow +\infty $, ottengo la forma indeterminata $ (-1)^{\infty} $?
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \]
Premetto che questa serie diverge. Ragionando però nel modo che segue, arrivo a concludere che converge.
La serie è a segni alterni. Poi, $ \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \sim n^{-\frac{1}{2}} $, pertanto converge per il criterio di Leibniz.
Per caso l'errore c'entra col fatto che, asintoticamente per $ n \rightarrow +\infty $, ottengo la forma indeterminata $ (-1)^{\infty} $?
Risposte
In generale, non puoi usare Leibniz dopo esser passato a successioni di addendi asintoticamente equivalenti a quella data; in altre parole, prese \(a_n,b_n>0\), in generale anche se \(a_n\sim b_n\) non sempre si ha:
\[
\sum (-1)^na_n \text{ converge}\ \Leftrightarrow \sum (-1)^n b_n \text{ converge.}
\]
\[
\sum (-1)^na_n \text{ converge}\ \Leftrightarrow \sum (-1)^n b_n \text{ converge.}
\]
Allora c'è qualcosa che non ho capito, perché il mio libro dice che il criterio è applicabile anche a serie a segni definitivamente alterni e se la successione a termini positivi associata è definitivamente decrescente.
A me sembra, ma potrei sbagliare, che $ n^{-\frac{1}{2}} $ sia decrescente e quindi concluderei che la serie a termini positivi è definitivamente decrescente.
Potresti chiarirmi questo punto?
A me sembra, ma potrei sbagliare, che $ n^{-\frac{1}{2}} $ sia decrescente e quindi concluderei che la serie a termini positivi è definitivamente decrescente.
Potresti chiarirmi questo punto?
@Riccardo D.
Congetturo che il tuo libro richieda,tra le ipotesi,che entrambe le serie asintoticamente equivalenti siano decrescenti:
sicuro lo sia l'altra?
Senza volerlo,magari,ma hai trovato il controesempio che legittima quanto detto da Gugo:
ed al contempo hai forse trovato modo di completare la sua argomentazione..
Congettura,comunque:
ti documenti per vedere se è "promuovibile" a proposizione
(trovo le serie siano state trattate meravigliosamente sull'Emmanuele,
ma non son certo sia un libro di facile reperibilità fuori dalla Trinacria!),
o provi a verificarlo(oppure confutarlo..)da solo?
Saluti dal web.
Congetturo che il tuo libro richieda,tra le ipotesi,che entrambe le serie asintoticamente equivalenti siano decrescenti:
sicuro lo sia l'altra?
Senza volerlo,magari,ma hai trovato il controesempio che legittima quanto detto da Gugo:
ed al contempo hai forse trovato modo di completare la sua argomentazione..
Congettura,comunque:
ti documenti per vedere se è "promuovibile" a proposizione
(trovo le serie siano state trattate meravigliosamente sull'Emmanuele,
ma non son certo sia un libro di facile reperibilità fuori dalla Trinacria!),
o provi a verificarlo(oppure confutarlo..)da solo?
Saluti dal web.
In effetti qui si vede che la successione a termini positivi non è decrescente (neanche definitivamente).
Possibile che non c'entri il fatto che $ 1^{infty} $ è una forma indeterminata e che quindi non ottengo $ n^{-\frac{1}{2}} $ nell'equivalenza asintotica?
Possibile che non c'entri il fatto che $ 1^{infty} $ è una forma indeterminata e che quindi non ottengo $ n^{-\frac{1}{2}} $ nell'equivalenza asintotica?
Forse stai attenzionando l'aspettomeno pertinente della vicenda:
$(-1)^(oo)$ non è una forma indeterminata..
Saluti dal web.
$(-1)^(oo)$ non è una forma indeterminata..
Saluti dal web.
@ Riccardo: Il senso della mia osservazione precedente è questo: non puoi usare il confronto asintotico se la serie non è a termini \(\geq 0\).
Il criterio di confronto asintotico è un criterio di convergenza per serie a termini \(\geq 0\), ossia un criterio di assoluta convergenza; ma non è affatto un criterio di convergenza semplice.
Per studiare la tua serie, che non è assolutamente convergente proprio per il criterio del confronto asintotico, devi usare qualche criterio di convergenza semplice, come quello di Leibniz o di Dirichlet (oppure nozioni più avanzate, se è il caso...).
Il criterio di confronto asintotico è un criterio di convergenza per serie a termini \(\geq 0\), ossia un criterio di assoluta convergenza; ma non è affatto un criterio di convergenza semplice.
Per studiare la tua serie, che non è assolutamente convergente proprio per il criterio del confronto asintotico, devi usare qualche criterio di convergenza semplice, come quello di Leibniz o di Dirichlet (oppure nozioni più avanzate, se è il caso...).
"theras":
Forse stai attenzionando l'aspettomeno pertinente della vicenda:
$(-1)^(oo)$ non è una forma indeterminata..
Saluti dal web.
Forse non ho capito niente sulle forme indeterminate, però $ (-1)^{\infty} $ mi sembra una forma indeterminata. Se non lo è, che valore assume asintoticamente?
"gugo82":
Per studiare la tua serie, che non è assolutamente convergente proprio per il criterio del confronto asintotico, devi usare qualche criterio di convergenza semplice, come quello di Leibniz o di Dirichlet (oppure nozioni più avanzate, se è il caso...).
Ma certo, infatti io sto cercando di capire se il criterio di Leibniz è applicabile; il mio testo dice che lo è se la successione a termini positivi associata alla serie a segni alterni che sto studiando è definitivamente decrescente (e infinitesima per $ n \rightarrow +\infty $), quindi ho pensato di vedere cosa succede asintoticamente, in modo tale da verificare l'applicabilità del criterio.
Ma la decrescenza non mi pare una proprietà che, in generale, si conserva passando a successioni asintoticamente equivalenti.
Ad esempio, la successione:
\[
a_n := \begin{cases} 1+\frac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è pari}\\
1-\frac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
è asintoticamente equivalente a \(b_n:=1+\frac{1}{2n}\); ma la seconda è monotona, mentre la prima non lo è.
Morale: se vuoi studiare \(\sum (-1)^n\ a_n\) con Leibniz, devi necessariamente operare sulla successione \(a_n\) così com'è.
Ad esempio, la successione:
\[
a_n := \begin{cases} 1+\frac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è pari}\\
1-\frac{1}{n} &\text{, se } n \text{ è dispari}
\end{cases}
\]
è asintoticamente equivalente a \(b_n:=1+\frac{1}{2n}\); ma la seconda è monotona, mentre la prima non lo è.
Morale: se vuoi studiare \(\sum (-1)^n\ a_n\) con Leibniz, devi necessariamente operare sulla successione \(a_n\) così com'è.
Ma infatti io son d'accordo sul fatto che la decrescenza non si conservi: il mio ragionamento si basa sul fatto che a me non interessa la conservazione della decrescenza, ma la sua validità asintoticamente.
Infatti, se io elimino dalla serie un numero finito di primi termini che compongono la serie, il suo carattere non cambia; quindi l'idea è che io arrivi a mostrare che definitivamente (cioè da un certo $ n_0 \in \mathbb{N} $ in poi) la successione risulti decrescente, così dovrebbe essere sufficiente.
Come ti suona questo ragionamento? Questo è ciò che ho capito leggendo il mio testo.
Infatti, se io elimino dalla serie un numero finito di primi termini che compongono la serie, il suo carattere non cambia; quindi l'idea è che io arrivi a mostrare che definitivamente (cioè da un certo $ n_0 \in \mathbb{N} $ in poi) la successione risulti decrescente, così dovrebbe essere sufficiente.
Come ti suona questo ragionamento? Questo è ciò che ho capito leggendo il mio testo.
Allora non capisco questo tuo passaggio:
Cioè, dici di aver chiaro che non si può stabilire la monotonia degli \(a_n\) passando ad una successione asintoticamente equivalente, tuttavia è proprio questo che fai nel brano riportato... Perchè?
No, la forma indeterminata non c'entra nulla.
Il problema è che non puoi stabilire la monotonia della successione \(a_n\) guardando una successione asintoticamente equivalente.
Quindi nel "ragionamento" condotto nel tuo post non stai verificando correttamente le ipotesi del criterio di Leibniz.
"Riccardo Desimini":
Consideriamo la serie
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \]
[...] La serie è a segni alterni. Poi, $ \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{n} \sim n^{-\frac{1}{2}} $, pertanto converge per il criterio di Leibniz.
Cioè, dici di aver chiaro che non si può stabilire la monotonia degli \(a_n\) passando ad una successione asintoticamente equivalente, tuttavia è proprio questo che fai nel brano riportato... Perchè?
"Riccardo Desimini":
Per caso l'errore c'entra col fatto che, asintoticamente per $ n \rightarrow +\infty $, ottengo la forma indeterminata $ (-1)^{\infty} $?
No, la forma indeterminata non c'entra nulla.
Il problema è che non puoi stabilire la monotonia della successione \(a_n\) guardando una successione asintoticamente equivalente.
Quindi nel "ragionamento" condotto nel tuo post non stai verificando correttamente le ipotesi del criterio di Leibniz.
Ok, forse comincio a capire: ho fatto confusione tra il verificare la decrescenza della successione di partenza definitivamente e il verificare la decrescenza definitivamente di una successione ad essa asintoticamente equivalente.
P.S.: So che $ 1^{\infty} $ è una forma indeterminata; allora anche $ (-1)^{\infty} $ lo è?
P.S.: So che $ 1^{\infty} $ è una forma indeterminata; allora anche $ (-1)^{\infty} $ lo è?
"Riccardo Desimini":
Ok, forse comincio a capire: ho fatto confusione tra il verificare la decrescenza della successione di partenza definitivamente e il verificare la decrescenza definitivamente di una successione ad essa asintoticamente equivalente.
Esatto: questo è quello che cerco di dirti a tempo.
"Riccardo Desimini":
P.S.: So che $ 1^{\infty} $ è una forma indeterminata; allora anche $ (-1)^{\infty} $ lo è?
Una forma indeterminata è solo un simbolo, non è qualcosa di "concreto"; ed, in quanto simbolo, va sempre interpretato nella maniera giusta.
Il simbolo \(1^\infty\) si interpreta al seguente modo:
Se si hanno due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), definite in uno stesso intorno di un punto \(x_0\), tali che:
[list=1][*:20p5nfqo] \(\lim_{x\to x_0} f(x) =1\),
[/*:m:20p5nfqo]
[*:20p5nfqo] \(f\) non è identicamente uguale a \(1\) definitivamente intorno di \(x_0\),
[/*:m:20p5nfqo]
[*:20p5nfqo] \(\lim_{x\to x_0} |g(x)|=+\infty\), [/*:m:20p5nfqo][/list:o:20p5nfqo]
allora non si può stabilire a priori (cioè usando il teoremi elementari sui limiti) né se esiste né quanto valga il:
\[
\lim_{x\to x_0} [f(x) ]^{g(x)}\; .
\]
[Analogo discorso vale se al posto delle funzioni sostituisco due successioni.]
L'ipotesi 2. è tutt'altro che marginale... Ad esempio, prendi le funzioni \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definite da:
\[
f(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x>100000\\
\text{qualsiasi altra cosa tu voglia >0} &\text{, se } x\leq 100000
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad g(x) := x\; ;
\]
allora il limite:
\[
\lim_{x\to +\infty} [f(x)]^{g(x)}
\]
non si presenta in forma indeterminata: infatti, per ogni \(x>100000\) si ha:
\[
[f(x)]^{g(x)} =1^x =1
\]
quindi:
\[
\lim_{x\to +\infty} [f(x)]^{g(x)} =\lim_{x\to +\infty} 1=1\; .
\]
@Riccardo.
Facciamo così:
ci ricordi,in primo luogo, perché $1^(oo)$ è forma indeterminata?
Poi vediamo se lo stesso ragionamento è applicabile alla tua pseudo-forma indeterminata?
Secondo me,
nel migliore dei casi in cui l'esponente non[\u] è un intero pari camuffato
(ad esempio la successione di termine generale $(-n/(n+1))^n$..),
la successione che la genera oscilla lapalissianamente,
sempre ammessane e non concessane la buona definizione
(ad esempio non lo è quella di "termine generale"
$(-n/(n+1))^(n/2)$..)!
Saluti dal web.
Facciamo così:
ci ricordi,in primo luogo, perché $1^(oo)$ è forma indeterminata?
Poi vediamo se lo stesso ragionamento è applicabile alla tua pseudo-forma indeterminata?
Secondo me,
nel migliore dei casi in cui l'esponente non[\u] è un intero pari camuffato
(ad esempio la successione di termine generale $(-n/(n+1))^n$..),
la successione che la genera oscilla lapalissianamente,
sempre ammessane e non concessane la buona definizione
(ad esempio non lo è quella di "termine generale"
$(-n/(n+1))^(n/2)$..)!
Saluti dal web.
"gugo82":
Il simbolo \(1^\infty\) si interpreta al seguente modo:
Se si hanno due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\), definite in uno stesso intorno di un punto \(x_0\), tali che:
[list=1][*:3qhv9l44] \(\lim_{x\to x_0} f(x) =1\),
[/*:m:3qhv9l44]
[*:3qhv9l44] \(f\) non è identicamente uguale a \(1\) definitivamente intorno di \(x_0\),
[/*:m:3qhv9l44]
[*:3qhv9l44] \(\lim_{x\to x_0} |g(x)|=+\infty\), [/*:m:3qhv9l44][/list:o:3qhv9l44]
allora non si può stabilire a priori (cioè usando il teoremi elementari sui limiti) né se esiste né quanto valga il:
\[
\lim_{x\to x_0} [f(x) ]^{g(x)}\; .
\]
[Analogo discorso vale se al posto delle funzioni sostituisco due successioni.]
L'ipotesi 2. è tutt'altro che marginale... Ad esempio, prendi le funzioni \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definite da:
\[
f(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x>100000\\
\text{qualsiasi altra cosa tu voglia >0} &\text{, se } x\leq 100000
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad g(x) := x\; ;
\]
allora il limite:
\[
\lim_{x\to +\infty} [f(x)]^{g(x)}
\]
non si presenta in forma indeterminata: infatti, per ogni \(x>100000\) si ha:
\[
[f(x)]^{g(x)} =1^x =1
\]
quindi:
\[
\lim_{x\to +\infty} [f(x)]^{g(x)} =\lim_{x\to +\infty} 1=1\; .
\]
Questa spiegazione del concetto di forma indeterminata, seppur calata nel contesto di un caso particolare, è ciò che mi serviva per collocare le forme indeterminate in un contesto formale.
Il mio ragionamento intuitivo è allora questo:
Osservo che la successione $ \{ (-1)^n \} $ è irregolare, cioè non ammette limite: è infatti una roba che vale $ 1 $ o $ -1 $ in modo alternato all'aumentare di $ n $.
Se ho capito bene, quando mi trovo di fronte ad una forma indeterminata io non so dire neanche se esiste il limite, invece in questo secondo caso so esattamente che non esiste e quindi non si parla di forma di indecisione.
Ho capito bene?
Yeap!
Prima d'esultare pure io per la tua piena comprensione dell'argomento
(momento di catarsi per ogni bravo insegnante che tiene davvero al suo mestiere,
dalle materne all'Università,
vero?),
aspetto una tua risposta a questa domanda:
perché la successione di termine generale
$(-n/(n+1))^(2n)$,
se passata al limite per $n to oo$,
tende a $1/(e^2)$,
nonostante il fatto che a primo acchitto dovrebbe oscillare per quanto da te detto?
Saluti dal web.
(momento di catarsi per ogni bravo insegnante che tiene davvero al suo mestiere,
dalle materne all'Università,
vero?),
aspetto una tua risposta a questa domanda:
perché la successione di termine generale
$(-n/(n+1))^(2n)$,
se passata al limite per $n to oo$,
tende a $1/(e^2)$,
nonostante il fatto che a primo acchitto dovrebbe oscillare per quanto da te detto?
Saluti dal web.
In questo caso la forma di indecisione c'è perché la base della potenza non è mai identicamente uguale a $ -1 $.
Comunque, la forma di di indecisione si risolve così:
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( -\frac{n}{n+1} \Big ) ^{2n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{2n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{-2(-n-1)} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{-2} = \frac{1}{e^2} \]
Comunque, la forma di di indecisione si risolve così:
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( -\frac{n}{n+1} \Big ) ^{2n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{2n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{-2(-n-1)} \Big ( 1-\frac{1}{n+1} \Big ) ^{-2} = \frac{1}{e^2} \]
Ora posso esultare anche io:
.
Saluti dal web.
.Saluti dal web.
La vostra gioia è anche la mia.
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