Convergenza di una serie a più variabili
L'esercizio mi richiede di studiare la convergenza di questa serie al variare di x e a.
$\Sigma(x^n)/(sqrt(n)*(n!)^a)$
Con il criterio del rapporto ho trovato che
$(a_(n+1))/a_n=x*sqrt(n/(n+1))*1/(n+1)^a$
A questo punto, dato che $sqrt(n/(n+1))$ dovrebbe tendere ad 1, mi verrebbe da dire che per a>0 converge perché $1/(n+1)^a$ tende a zero, e quindi non esiste più nemmeno la dipendenza da x.
Per x>0 e a<0, per un ragionamento molto simile, dovrebbe divergere a $+infty$.
Ma per x<0 e a<0? Qua non posso usare il criterio dell'assoluta convergenza... e per questo stesso motivo, non riesco a studiare il caso a=0 x<-1 (fino a -1 me la sono "cavata" dicendo che per a=0 e |x|<1 converge, e poi per a=0 e x>1 diverge).
Ho diversi dubbi anche sul caso a=0 x=-1, che non so bene come trattare (il prof suggeriva Leibniz, ma i miei tentativi sono stati inconcludenti).
Grazie mille!
(Mancano pochi giorni al primo compitINO di analisi
)
$\Sigma(x^n)/(sqrt(n)*(n!)^a)$
Con il criterio del rapporto ho trovato che
$(a_(n+1))/a_n=x*sqrt(n/(n+1))*1/(n+1)^a$
A questo punto, dato che $sqrt(n/(n+1))$ dovrebbe tendere ad 1, mi verrebbe da dire che per a>0 converge perché $1/(n+1)^a$ tende a zero, e quindi non esiste più nemmeno la dipendenza da x.
Per x>0 e a<0, per un ragionamento molto simile, dovrebbe divergere a $+infty$.
Ma per x<0 e a<0? Qua non posso usare il criterio dell'assoluta convergenza... e per questo stesso motivo, non riesco a studiare il caso a=0 x<-1 (fino a -1 me la sono "cavata" dicendo che per a=0 e |x|<1 converge, e poi per a=0 e x>1 diverge).
Ho diversi dubbi anche sul caso a=0 x=-1, che non so bene come trattare (il prof suggeriva Leibniz, ma i miei tentativi sono stati inconcludenti).
Grazie mille!
(Mancano pochi giorni al primo compitINO di analisi
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Risposte
Ti ringrazio, ma...perché R viene così? Il criterio non diceva di fare $a_(n+1)/a_n$? In pratica, è il reciproco del mio risultato 
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