Convergenza di una serie

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.

Verificare la convergenza della serie:

$sum_(n=1)^(+oo) (1-cos(1/n))/sqrt(n)$

Purtroppo sia il criterio del rapporto, che quello della radice sono inefficaci. Come posso fare?

[Seneca1]

Qui funziona bene il criterio del confronto asintotico. $1 - cos(1/n) sim 1/n^2$ per $n -> +oo$.

[sirio25788-votailprof]

Purtroppo non lo so usare. Mi potresti spiegare come si fa?

[21zuclo]

Seneca ha usato il criterio asintotico

Teorema Criterio asintotico:

Siano $\sum a_n$ e $\sum b_n$ due serie a termini definitivamente positive tali che

\[\displaystyle a_n\sim b_n \]

Allora le due serie hanno lo stesso carattere

Ecco il teorema!.. Certo bisogna sapere prima usare l'asintotico e gli sviluppi di Taylor-MacLaurin..

[sirio25788-votailprof]

Tutto chiaro. Ciò che non capisco è come si fa a dire che $1-cos(1/n)$è asintoticamente equivalente a $1/n^2$