Convergenza di una serie

[aizarg1]

Dovendo dimostrare la convergenza della serie

[size=150]\( \sum_1^{\infty}\int_0^{\frac{1}{n}}\frac{x-sin(x)}{x}dx\)[/size]

ho applicato il criterio del rapporto senza ottenere alcun risultato.

[robbstark1]

Come hai fatto a usare il criterio del rapporto? Viene un rapporto tra integrali, non mi sembra aiuti.
Perché non sviluppi in serie il seno e poi calcoli l'integrale? Perché questa procedura è accettabile?

[aizarg1]

Ho provato a sviluppare in serie ilseno come suggerito da robbstark ma ottengo una serie i cui termini sono a loro volte delle serie !

[robbstark1]

Potresti fare vedere cosa ottieni?

[Covenant]

Altrimenti puoi sempre verificare per quale $a>0$ questo limite risulta finito e non nullo:

$lim_(n to oo) (int_0^(1/n) (x-sinx)/x \ dx)/(1/n^a)$. Con qualche colpo di De l'Hospital si fa. Dovrebbe risultare $a=3$ e quindi la serie converge.

[gugo82]

@aizarg: Potrebbe essere utile notare che se \(f\in C^1(\mathbb{R})\) e se \(f(x_0)=f^\prime (x_0)=0\), allora \(F(x):=\intop_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t\) è \(\text{o}((x-x_0)^2)\) per \(x\to x_0\).