Convergenza di una Serie

[Edhel1]

Salve a tutti,
ho da studiare la convergenza semplice della serie di funzioni seguente :
$ sum_(k = 1)^(oo ) cos (x / (k)^(2) ) $ . Mentre per la serie derivata è convergente uniformemente vero?

[Raptorista1]

Inizia a scrivere qualche conto!

[Edhel1]

Per la serie principale non so proprio che calcoli fare. Mentre per la serie derivata $ |-1 /(k)^(2) sin x / (k)^(2) | <= 1 / (k)^(2) $ che è la serie armonica convergente, e quindi la serie derivata è convergente totalmente e uniformemente. Ma quella che non riesco a studiare e la prima serie!

[homeinside-votailprof]

se fai il rapporto $lim_(n){a_(n+1)}/{a_n}$ trovi che per$ |x|<1$ la serie converge, per $x<1$ la serie diverge, per $x<-1$ la serie non converge, ma non riesco a determinarne con certezza il carattere. per $x=1$ la serie è confrontabile con la serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, la serie quindi converge. per x=-1 la serie converge per il criterio di leibnitz sulle serie a segni alterni, infatti $lim_n{1/k^2}=0$ e $1/k^2>1/(k+1)^2$, cioè il termine è infinitesimo e decrescente

[ilbuonuomo-votailprof]

Ma la serie non è divergente per qualsiasi x?
$lim_{k->oo} cos(x/k^2) =1$

[Edhel1]

"ilbuonuomo":Ma la serie non è divergente per qualsiasi x?
$lim_{k->oo} cos(x/k^2) =1$

Ma questo non è il limite della successione di funzioni : $ cos (k / (x)^(2)) ? $ Quindi come faccio a dire che la serie è divergente???

[Edhel1]

"Edhel":[quote="ilbuonuomo"]Ma la serie non è divergente per qualsiasi x?
$lim_{k->oo} cos(x/k^2) =1$

Ma questo non è il limite della successione di funzioni : $ cos (k / (x)^(2)) ? $ Quindi come faccio a dire che la serie è divergente???[/quote]
Scusate intendevo$ cos (x / (k)^(2)) ? $

[Raptorista1]

Ciò che ilbuonuomo intende dire è che non è rispettata la condizione necessaria di convergenza: essendo la serie una somma di infiniti termini [quelli della successione, appunto] allora tale somma convergerà solo se il termine che tu continui a sommare diventa infinitesimo; in questo caso, ad esempio, se il termine generale tende ad $1$, significa che da un certo punto in poi continuerai a sommare un'infinità di $1$, facendo quindi divergere la serie.

[Edhel1]

"Raptorista":Ciò che ilbuonuomo intende dire è che non è rispettata la condizione necessaria di convergenza: essendo la serie una somma di infiniti termini [quelli della successione, appunto] allora tale somma convergerà solo se il termine che tu continui a sommare diventa infinitesimo; in questo caso, ad esempio, se il termine generale tende ad $1$, significa che da un certo punto in poi continuerai a sommare un'infinità di $1$, facendo quindi divergere la serie.

Ok grazie ho capito, mi hai risolto il dubbio che avevo, perchè infatti non riuscivo a capire come la serie potesse convergere se la successione tendeva ad 1.