Convergenza di una serie
Buonasera a tutti! Il mio dubbio del giorno, ricade su questa serie:
Allora, ho provato in diversi modi.
Ho provato usando il criterio del rapporto, e mi viene:
$\lim_{n \to \infty}(((7\beta)^(n+1)log(n+1))/e^n)*(e^(n-1)/((7\beta)^nlogn))
Facendo un pò di conti mi risulta:
$7\beta/e$, che per rendere la serie convergente deve essere $<1$, quindi $\beta
Il risultato che dovrebbe uscire è invece $|\beta|
Ho pensato allora di usare il criterio di Condensazione di Cauchy, e in seguito quello della radice e, anche se il risultato veniva proprio $|\beta|
Come posso fare?
Un grazie a tutti per il fantastico aiuto che mi date sempre
Andrea ~
Allora, ho provato in diversi modi.
Ho provato usando il criterio del rapporto, e mi viene:
$\lim_{n \to \infty}(((7\beta)^(n+1)log(n+1))/e^n)*(e^(n-1)/((7\beta)^nlogn))
Facendo un pò di conti mi risulta:
$7\beta/e$, che per rendere la serie convergente deve essere $<1$, quindi $\beta
Il risultato che dovrebbe uscire è invece $|\beta|
Ho pensato allora di usare il criterio di Condensazione di Cauchy, e in seguito quello della radice e, anche se il risultato veniva proprio $|\beta|
Come posso fare?
Un grazie a tutti per il fantastico aiuto che mi date sempre
Andrea ~
Risposte
Ma va bene il criterio del rapporto, solo ti sei dimenticato una cosa fondamentale, se $beta <0$, la serie come diventa? e per quali valori di $beta$ convergerà?
Se $beta = -3$ secondo i tuoi calcoli la serie converge, prova a vedere se è vero
Se $beta = -3$ secondo i tuoi calcoli la serie converge, prova a vedere se è vero
Allora.. se $\beta<0$, diciamo per esempio $-3$, la serie mi viene con $(-21/e)^n$ al numeratore
Ora credimi, di esponenziali e logaritmi non so praticamente nulla.. e non riesco a capire cosa ci sia che non va..
Puoi darmi qualche altro indizio?
EDIT: c'entra qualcosa con il fatto che la serie deve essere strettamente positiva per caso?
Ora credimi, di esponenziali e logaritmi non so praticamente nulla.. e non riesco a capire cosa ci sia che non va..
Puoi darmi qualche altro indizio?
EDIT: c'entra qualcosa con il fatto che la serie deve essere strettamente positiva per caso?
ok allora se $beta$ è negativo l'argomento della serie si trasforma in
$(-1)^n * |7beta|^nlnn/e^(n-1)$
a questo punto cosa devi fare lo sai?
$(-1)^n * |7beta|^nlnn/e^(n-1)$
a questo punto cosa devi fare lo sai?
A quel punto diventa una serie a termini alterni.
Lì devo assicurarmi che:
1) $\lim_{n \to \infty}b_k=0$
2) $b_k$ sia monotona decrescente
quindi, in pratica, devo avere $|7\beta|
Ad ogni modo, non riesco a capire come hai fatto a scrivere la serie in quel modo.
Capisco che il numero che sta "$(...)^n$" possa diventare negativo, poichè ho prima scritto che $7\beta/e<1$. Però non capisco il passaggio.
Per esempio, io a una cosa del genere non avrei mai pensato
Lì devo assicurarmi che:
1) $\lim_{n \to \infty}b_k=0$
2) $b_k$ sia monotona decrescente
quindi, in pratica, devo avere $|7\beta|
Ad ogni modo, non riesco a capire come hai fatto a scrivere la serie in quel modo.
Capisco che il numero che sta "$(...)^n$" possa diventare negativo, poichè ho prima scritto che $7\beta/e<1$. Però non capisco il passaggio.
Per esempio, io a una cosa del genere non avrei mai pensato
Scusate per il doppio post, però forse quello che vuoi dirmi, è che, avendo usato il criterio del rapporto, la serie DEVE essere a termini strettamente positivi?
ma è una cosa nota, dal momento che esiste il criterio di Leibniz (o come si scrive), ogni volta che hai una serie dipendente da un parametro $a in R$ che nell'argomento della serie si presenta con termini come:
$(a^n)$
È naturale dividere i casi in $a >0$ e $a<0$. In quest'ultimo caso hai che puoi scrivere il termine come $(-1)^n*|a^n|$ e usare il criterio di Leibniz (o come si scrive) per ricondurti al caso $a>0$... tutto qui.
Non è una cosa che mi sono inventato io per risolverti la serie, è proprio un procedimento standard, ogni volte che hai una serie con un parametro elevato alla n devi scrivere quel parametro così...
$(a^n)$
È naturale dividere i casi in $a >0$ e $a<0$. In quest'ultimo caso hai che puoi scrivere il termine come $(-1)^n*|a^n|$ e usare il criterio di Leibniz (o come si scrive) per ricondurti al caso $a>0$... tutto qui.
Non è una cosa che mi sono inventato io per risolverti la serie, è proprio un procedimento standard, ogni volte che hai una serie con un parametro elevato alla n devi scrivere quel parametro così...
Quello che voglio dirti è che nel caso che $beta>0$ allora va bene come hai fatto tu. Nel caso sia negativo allora devi usare questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
Quindi tu scrivi la serie come ti ho detto, e poi noti che è una serie del tipo $(-1)^n * |beta|^n*(...)$, con i termini diversi da $(-1)^n$ strettamente positivi. Guardi allora per quali $beta$ la serie $sum_(n=0)^infty(7|beta|)^n*lnn/(e^(n-1))$ converge e hai finito, il teorema ti assicura che convergerà anche la serie iniziale... tutto qui.
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
Quindi tu scrivi la serie come ti ho detto, e poi noti che è una serie del tipo $(-1)^n * |beta|^n*(...)$, con i termini diversi da $(-1)^n$ strettamente positivi. Guardi allora per quali $beta$ la serie $sum_(n=0)^infty(7|beta|)^n*lnn/(e^(n-1))$ converge e hai finito, il teorema ti assicura che convergerà anche la serie iniziale... tutto qui.
Ah ok! Quindi non dovevo usare il criterio del rapporto, ma fare come hai detto tu! Grazie 
Una unica cosa.. Dettata probabilmente dal mio cervello che sta fondendo:
quando io calcolo $\lim_{n \to \infty}b_k$, mi viene
$\lim_{n \to \infty}(|7\beta/e|^n)logn*e$
Ok che $|7\beta/e|$ deve essere $<1$ di modo che $|7\beta/e|^n$ faccia 0.
Però dopo ho quel $logn$ che mi porta alla forma indeterminata $0*oo$.. Come la risolvo??
Una unica cosa.. Dettata probabilmente dal mio cervello che sta fondendo:
quando io calcolo $\lim_{n \to \infty}b_k$, mi viene
$\lim_{n \to \infty}(|7\beta/e|^n)logn*e$
Ok che $|7\beta/e|$ deve essere $<1$ di modo che $|7\beta/e|^n$ faccia 0.
Però dopo ho quel $logn$ che mi porta alla forma indeterminata $0*oo$.. Come la risolvo??
allora intanto devi prima considerare $beta>0$ e fare con il rapporto, poi usare Leibinz quando consideri il caso $beta<0$, per vedere se converge puoi anche ricondurti al caso $beta>0$, quindi non devi neanche risolvere il limite, in quanto sai che una serie non infinitesima non può convergere.
In che senso "ricondurmi" al caso $\beta>0$?
Ad ogni modo, mi sapresti dire come risolvere quel limite?
Mi blocco sempre su sto tipo di limiti!
Ad ogni modo, mi sapresti dire come risolvere quel limite?
Mi blocco sempre su sto tipo di limiti!
Allora devi studiare la convergenza della serie $(-1)^n*|7/e beta|^n*(...)$.
Devi dimostrare che è infinitesima.
Allora tu applicando il criterio di Leibniz studi la serie $|7/e beta|^n*(...)$
questa serie l'hai già studiata con il metodo del rapporto.
Quindi hai concluso, converge per $|7/e beta|<1$
Per quel limite, io ho sempre creduto fosse un limite noto, il $lim_(n->+oo) lnn*a^n=0$ con a minore di 1... ora sono davvero cotto da una giornata di studio quindi non mi viene in mente un modo veloce per dimostrarlo...
Devi dimostrare che è infinitesima.
Allora tu applicando il criterio di Leibniz studi la serie $|7/e beta|^n*(...)$
questa serie l'hai già studiata con il metodo del rapporto.
Quindi hai concluso, converge per $|7/e beta|<1$
Per quel limite, io ho sempre creduto fosse un limite noto, il $lim_(n->+oo) lnn*a^n=0$ con a minore di 1... ora sono davvero cotto da una giornata di studio quindi non mi viene in mente un modo veloce per dimostrarlo...
Con il metodo del rapporto ho concluso che converge per $7(\beta/e)<1$, non per $|7\beta/e|<1$.. Quindi com'è possibile?
Per il limite non ti preoccupare siamo cotti in 2!
Per il limite non ti preoccupare
siamo cotti in 2!
Ma che problemi ci sono a riapplicare il solito metodo con $|7*beta/e|$? non viene esattamente la stessa cosa?
Ma quindi posso applicare il metodo del rapporto con $|7\beta/e|$? Perchè la serie ha davanti il $(-1)^n$, e quindi non è a termini positivi. Quindi non posso applicare il metodo del rapporto.. O sbaglio?
E questo che non capisco :s
E questo che non capisco :s
Non ti ho appena detto che la serie a termini alternati converge se la serie a termini NON alternati (cioè senza il $(-1)^n$) converge?
Questo è il senso del criterio di Leibniz per le serie. Significa che devi limitarti a studiare la serie senza il fattore $(-1)?n$. Questa serie è a termini positivi.
Questo è il senso del criterio di Leibniz per le serie. Significa che devi limitarti a studiare la serie senza il fattore $(-1)?n$. Questa serie è a termini positivi.
Ah.. io avevo capito che con Leibniz la serie è convergente se la serie senza il $(-1)^n$ è decrescente e infinitesima..
E per quello serve calcolarne il limite.. Boh, sto fondendo!
E per quello serve calcolarne il limite.. Boh, sto fondendo!
Infatti Leib. dice così, solo che se dimostri che la serie converge, allora hai automaticamente che è infinitesima, ti torna? quindi non ti resta che dimostrare che è decrescente, ma non dovrebbe essere un problema.
Vero, vero. Però anche per la decrescenza mi rompe quel $logn$ X_X
Ps: oddio ti sto assillando se non ce la fai più fa nulla, ti capisco!
Ps: oddio ti sto assillando
se non ce la fai più fa nulla, ti capisco!
beh se $a^(n+1)ln (n+1) < a^n ln n$ da un certo n in poi allora
$a * ln (n+1)/ln(n) < 1$
questo suppongo sia vero, guarda un po' tu.
$a * ln (n+1)/ln(n) < 1$
questo suppongo sia vero, guarda un po' tu.
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