Convergenza di una serie
Ultimamente ho dovuto studiarmi per conto mio le serie e per aiutarmi nello studio delle convergenze mi sono fatto uno schemino di implicazioni secondo me utili.
Potreste dirmi se sono corrette le seguenti?
Data [tex]s = \displaystyle\sum {a}[/tex]
serie della somma della successione a,
Se, al tendere di n all' infinito:
a tende a 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s converge
a tende a un valore k diverso da 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
a tende a infinito [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
s irregolare [tex]\Rightarrow[/tex] a irregolare
può andare?
quali di queste si può trasformare in doppia implicazione?
Potreste dirmi se sono corrette le seguenti?
Data [tex]s = \displaystyle\sum {a}[/tex]
serie della somma della successione a,
Se, al tendere di n all' infinito:
a tende a 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s converge
a tende a un valore k diverso da 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
a tende a infinito [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
s irregolare [tex]\Rightarrow[/tex] a irregolare
può andare?
quali di queste si può trasformare in doppia implicazione?
Risposte
"Hop Frog":
1. a tende a 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s converge
2. a tende a un valore k diverso da 0 [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
3. a tende a infinito [tex]\Rightarrow[/tex] s diverge
4. s irregolare [tex]\Rightarrow[/tex] a irregolare
1. è una blasfemia
. se così fosse, lo studio delle serie sarebbe ridotto a calcolare dei limiti ti pare?!?prendi ad esempio $sum_(n=1)^(+infty) 1/n$ l'esempio classico di serie infinitesima che diverge.
2. 3. puoi metterli in un punto solo, comunque sono giusti.
4. cosa vuol dire irregolare??
per irregolare intendo nè convergente nè divergente...
comunque sul 1 punto c è ancora qualcosa che non mi convince...
comunque sul 1 punto c è ancora qualcosa che non mi convince...
però questo vale, giusto? :
s converge => a tende a 0
s converge => a tende a 0
Il punto 1 è una condizione necessaria ma non sufficiente ad assicurare al 100% la convergenza della serie: se il termine generale della serie converge a zero allora la serie, in un certo senso, ha i requisiti per essere convergente, ma non è detto che lo sia. Infatti come ha detto blackbishop13 esiste la serie armonica in cui, nonostante $1/n$ converga a zero, è divergente.
In realtà la 1. viene detta al contrario: "se la serie è convergente $\Rightarrow$ il termine generale $a_n$ converge a zero; oppure, proprio perchè è una condizione necessaria ma non sufficiente si può scrivere:
Se il termine generale converge a zero $\Leftarrow$ la serie è convergente.
Spero che sia chiaro.
In realtà la 1. viene detta al contrario: "se la serie è convergente $\Rightarrow$ il termine generale $a_n$ converge a zero; oppure, proprio perchè è una condizione necessaria ma non sufficiente si può scrivere:
Se il termine generale converge a zero $\Leftarrow$ la serie è convergente.
Spero che sia chiaro.
grazie mille ad entrambi..
invece riguardo il 4' punto?
invece riguardo il 4' punto?
Cosa intendi per irregolare? Oscillante?
Se $a_n$ è oscillante, non si può dire a priori che $lim s_n = S$... Ovvero che la serie converga. ( Ma neanche che diverga )
Se $a_n$ è oscillante, non si può dire a priori che $lim s_n = S$... Ovvero che la serie converga. ( Ma neanche che diverga )
Nel 4. forse volevi dire serie "indeterminata". Se è così, per definizione, essa è una serie la cui successione $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , in cui $s_n=\sum_{i=1}^n\ a_n$, è irregolare.
ok, ma se s è oscillante lo dev essere per forza anche la successione a, o no?
già 
tuttavia il viceversa non vale in generale.
tuttavia il viceversa non vale in generale.
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