Convergenza di una serie
Salve a tutti, stavo provando a capire il comportamento di questa serie:
$\sum_{k=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha$, al variare in $RR$ di $\alpha$.
Vi propongo il mio svolgimento perchè avendo due logaritmi ho avuto dei dubbi sullo svolgimento.
$\sum_{n=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha<\sum_{n=1}^oo ln(n^2)/(n)^alpha<\sum_{n=1}^oo 2n/n^alpha$ e quindi la condizione per la convergenza sarebbe: $alpha-1>1 -> alpha>2$.
Il mio dubbio è sulle maggiorazioni dei logaritmi per ricondurmi ad utilizzare il criterio del confronto con la serie notevole.
Grazie mille
$\sum_{k=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha$, al variare in $RR$ di $\alpha$.
Vi propongo il mio svolgimento perchè avendo due logaritmi ho avuto dei dubbi sullo svolgimento.
$\sum_{n=1}^oo ln(n^2+n+1)/(ln(n))^alpha<\sum_{n=1}^oo ln(n^2)/(n)^alpha<\sum_{n=1}^oo 2n/n^alpha$ e quindi la condizione per la convergenza sarebbe: $alpha-1>1 -> alpha>2$.
Il mio dubbio è sulle maggiorazioni dei logaritmi per ricondurmi ad utilizzare il criterio del confronto con la serie notevole.
Grazie mille
Risposte
Hai che $\alpha \in \mathbb{R}$, quindi può essere anche negativo; se non specifichi il segno di $\alpha$ distinguendo dei casi, non si può capire se stai procedendo correttamente o no.
Suggerimento: sempre specificando il segno di $\alpha$ distinguendo dei casi, procedi prima a verificare la condizione necessaria di convergenza. Dovrebbe escludere una buona fetta di valori di $\alpha$ e aiutare per le stime.
A parte il parametro $\alpha$: se, come sembra, hai maggiorato $\log(n^2+n+1)$ con $\log(n^2)$, quella stima è sicuramente sbagliata perché il logaritmo naturale è strettamente crescente.
Suggerimento: sempre specificando il segno di $\alpha$ distinguendo dei casi, procedi prima a verificare la condizione necessaria di convergenza. Dovrebbe escludere una buona fetta di valori di $\alpha$ e aiutare per le stime.
A parte il parametro $\alpha$: se, come sembra, hai maggiorato $\log(n^2+n+1)$ con $\log(n^2)$, quella stima è sicuramente sbagliata perché il logaritmo naturale è strettamente crescente.
"Mephlip":
A parte il parametro $\alpha$: se, come sembra, hai maggiorato $\log(n^2+n+1)$ con $\log(n^2)$, quella stima è sicuramente sbagliata perché il logaritmo naturale è strettamente crescente.
Come potrei maggiorare? Perchè farlo con $log(n^2)$ è l'unica cosa che mi è venuta in mente. Confronto asintotico o eventuali sviluppi di taylor li ho esclusi dato che non va a $0$ il logaritmo.
"Gianluk3":
Come potrei maggiorare? Perchè farlo con $log(n^2)$ è l'unica cosa che mi è venuta in mente.
Ribadisco: se non distingui vari casi per $\alpha$ non ne usciamo. Tipo, che succede se $\alpha=0$? Che succede se $\alpha <0$?
"Gianluk3":
Confronto asintotico o eventuali sviluppi di taylor li ho esclusi dato che non va a $0$ il logaritmo.
Il confronto asintotico non si fa solamente per successioni che tendono a $0$.
"Mephlip":
[quote="Gianluk3"]
Come potrei maggiorare? Perchè farlo con $log(n^2)$ è l'unica cosa che mi è venuta in mente.
Ribadisco: se non distingui vari casi per $\alpha$ non ne usciamo. Tipo, che succede se $\alpha=0$? Che succede se $\alpha <0$?[/quote]
Se $alpha<=0$, non è soddisfatta la condizione necessaria. Quindi, se convegesse, lo farebbe per $alpha>0$.
Per il confronto asintotico: si hai ragione, non ho ripensato.
Esatto, se $\alpha \leq 0$ la condizione necessaria non è verificata e quindi sicuramente la serie diverge.
Consideriamo quindi $\alpha>0$: abbiamo già parlato del fatto che la disuguaglianza $\log(n^2+n+1)<\log(n^2)$ è falsa.
Anche la stima del denominatore è falsa per $\alpha>0$, ossia è falso che $\frac{1}{(\log n)^\alpha}<\frac{1}{n^{\alpha}}$ per $\alpha>0$; come avevi ragionato per ottenerla? Almeno vediamo cosa non va.
Detto ciò, domanda: che serie notevoli conosci? Ad esempio, conosci quella $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\beta (\log n)^\gamma}$?
Consideriamo quindi $\alpha>0$: abbiamo già parlato del fatto che la disuguaglianza $\log(n^2+n+1)<\log(n^2)$ è falsa.
Anche la stima del denominatore è falsa per $\alpha>0$, ossia è falso che $\frac{1}{(\log n)^\alpha}<\frac{1}{n^{\alpha}}$ per $\alpha>0$; come avevi ragionato per ottenerla? Almeno vediamo cosa non va.
Detto ciò, domanda: che serie notevoli conosci? Ad esempio, conosci quella $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\beta (\log n)^\gamma}$?
"Mephlip":
Esatto, se $\alpha \leq 0$ la condizione necessaria non è verificata e quindi sicuramente la serie diverge.
Consideriamo quindi $\alpha>0$: abbiamo già parlato del fatto che la disuguaglianza $\log(n^2+n+1)<\log(n^2)$ è falsa.
Anche la stima del denominatore è falsa per $\alpha>0$, ossia è falso che $\frac{1}{(\log n)^\alpha}<\frac{1}{n^{\alpha}}$ per $\alpha>0$; come avevi ragionato per ottenerla? Almeno vediamo cosa non va.
Io avevo pensato di ricondurmi a quella forma, perche in alcuni esercizi svolti, viene usato: $log(n)
"Mephlip":
Detto ciò, domanda: che serie notevoli conosci? Ad esempio, conosci quella $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\beta (\log n)^\gamma}$?
No, conosco $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n (\log n)^\gamma}$, che converge per $gamma>1$.
No Gianluk3, così rischi di prendere abitudini sbagliate. Non applicare in automatico cose fatte in altri esercizi, devi sempre chiederti se sei nella stessa situazione. Ti sembra sensato che dalla disuguaglianza $\log n < n$, vera per ogni $n\in\mathbb{N}$ (nella disuguaglianza entrambi i membri sono quantità non negative per $n \geq 2$, quantità da cui tra l'altro deve partire la tua serie o si annulla il denominatore; nel post iniziale hai scritto $k=1$, deve essere $n=2$ o numeri maggiori di $2$), allora vale lo stesso quando consideri i reciproci? Ti sembra vero che da $1<2$ segue $\frac{1}{1}<\frac{1}{2}$?
Hai pure un esponente $\alpha>0$, quindi se $\alpha=2$ ti sembra vero che da $1<2$ segue che è vera $\frac{1}{1^2}<\frac{1}{2^2}$?
Questi sono errori da scuole superiori, buttandoti così in automatico rischi di fare degli errori grossolani.
Hai pure un esponente $\alpha>0$, quindi se $\alpha=2$ ti sembra vero che da $1<2$ segue che è vera $\frac{1}{1^2}<\frac{1}{2^2}$?
Questi sono errori da scuole superiori, buttandoti così in automatico rischi di fare degli errori grossolani.
"Mephlip":
No Gianluk3, così rischi di prendere abitudini sbagliate. Non applicare in automatico cose fatte in altri esercizi, devi sempre chiederti se sei nella stessa situazione. Ti sembra sensato che dalla disuguaglianza $\log n < n$, vera per ogni $n\in\mathbb{N}$ (nella disuguaglianza entrambi i membri sono quantità non negative per $n \geq 2$, quantità da cui tra l'altro deve partire la tua serie o si annulla il denominatore; nel post iniziale hai scritto $k=1$, deve essere $n=2$ o numeri maggiori di $2$), allora vale lo stesso quando consideri i reciproci? Ti sembra vero che da $1<2$ segue $\frac{1}{1}<\frac{1}{2}$?
Hai pure un esponente $\alpha>0$, quindi se $\alpha=2$ ti sembra vero che da $1<2$ segue che è vera $\frac{1}{1^2}<\frac{1}{2^2}$?
Questi sono errori da scuole superiori, buttandoti così in automatico rischi di fare degli errori grossolani.
Scusami mephlip, mi sono scordato di modificare l'indice di partenza della serie, dato che l'avevo copiata dalla pagina con tutte le varie formule.
Hai perfettamente ragione, $1/1$ non è minore di $1/2^2$.
Scusate se ricommento questo post di qualche giorno fa, ma ho continuato a provarci in questi giorni per capire e prima di riscrivere, ho voluto un pò "sbatterci la testa" per provare ad arrivare al ragionamento da seguire e quindi il risultato.
Innanzitutto sono partito dal fatto che avevo analizzato con Mephlip, e cioè che se converge lo farebbe per $alpha>0$.
Dato che Mephlip, mi aveva suggerito la serie notevole $ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\beta (\log n)^\gamma} $, ho cercato di manipolare $ ln(n^2+n+1)/ln(n)^alpha $ in modo tale da ricondurmi a quella notevole riportata sopra, ottenendo:
$2/(ln(n)^(alpha-1))+1/(n^2ln(n)^alpha)$, che converge se $alpha>2$.
La mia domanda è: è corretto questo ragionamento? Perchè vedendo quel numeratore, dopo averci pensato molto, l'unica cosa che mi è venuta in mente di poter fare è $ln(n^2+n+1)=ln(n^2)+ln(1+(n+1)/n^2)$.
Grazie mille, scusate se ho riscritto e sopratutto per la pazienza di aiutarmi a capire.
Innanzitutto sono partito dal fatto che avevo analizzato con Mephlip, e cioè che se converge lo farebbe per $alpha>0$.
Dato che Mephlip, mi aveva suggerito la serie notevole $ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\beta (\log n)^\gamma} $, ho cercato di manipolare $ ln(n^2+n+1)/ln(n)^alpha $ in modo tale da ricondurmi a quella notevole riportata sopra, ottenendo:
$2/(ln(n)^(alpha-1))+1/(n^2ln(n)^alpha)$, che converge se $alpha>2$.
La mia domanda è: è corretto questo ragionamento? Perchè vedendo quel numeratore, dopo averci pensato molto, l'unica cosa che mi è venuta in mente di poter fare è $ln(n^2+n+1)=ln(n^2)+ln(1+(n+1)/n^2)$.
Grazie mille, scusate se ho riscritto e sopratutto per la pazienza di aiutarmi a capire.
Ciao! Ma per ottenere $\frac{1}{n^2 (\log n)^{\alpha}}$ hai fatto un confronto asintotico sfruttando il come si comporta $\log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)$ quando $n \to \infty$? Perché se sì, non è quello il comportamento asintotico: quell'$n+1$ a numeratore conta. Come hai ragionato per dire che sono asintotiche?
Tenendo a mente che il secondo termine nella somma che hai scritto qui non è asintotico a $\frac{\log\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)}{(\log n)^{\alpha}}$ per $n \to \infty$, la serie corrispondente al secondo termine converge per ogni $\alpha$ (come ti è uscito $\alpha >2$?), ma quella corrispondente al primo termine? Devono convergere entrambe quando fai questi ragionamenti per dedurre la convergenza della serie di partenza (non perderci altro tempo però, perché è un confronto asintotico scorretto come ti ho scritto proprio all'inizio; è giusto per chiarire come bisogna ragionare quando ci si trova in situazioni come queste).
Comunque la strategia è corretta, ma a questo punto puoi procedere più velocemente semplicemente usando $\frac{2 \log n}{(\log n)^{\alpha}}$ come successione per il confronto asintotico.
"Gianluk3":
$2/(ln(n)^(alpha-1))+1/(n^2ln(n)^alpha)$, che converge se $alpha>2$.
Tenendo a mente che il secondo termine nella somma che hai scritto qui non è asintotico a $\frac{\log\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)}{(\log n)^{\alpha}}$ per $n \to \infty$, la serie corrispondente al secondo termine converge per ogni $\alpha$ (come ti è uscito $\alpha >2$?), ma quella corrispondente al primo termine? Devono convergere entrambe quando fai questi ragionamenti per dedurre la convergenza della serie di partenza (non perderci altro tempo però, perché è un confronto asintotico scorretto come ti ho scritto proprio all'inizio; è giusto per chiarire come bisogna ragionare quando ci si trova in situazioni come queste).
Comunque la strategia è corretta, ma a questo punto puoi procedere più velocemente semplicemente usando $\frac{2 \log n}{(\log n)^{\alpha}}$ come successione per il confronto asintotico.
"Mephlip":
Ciao! Ma per ottenere $\frac{1}{n^2 (\log n)^{\alpha}}$ hai fatto un confronto asintotico sfruttando il come si comporta $\log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)$ quando $n \to \infty$? Perché se sì, non è quello il comportamento asintotico: quell'$n+1$ a numeratore conta. Come hai ragionato per dire che sono asintotiche?
Io ho utilizzato lo sviluppo di Taylor del logaritmo per dire che sono asintotiche.
Ok che non mi ci devo soffermare, però potresti dirmi perchè ai fini della convergenza non lo devo considerare il termine $ \log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right) $? Perchè io vedendo che comunque il denominatore dipende da $alpha$, ho pensato che l'avrei dovuto considerare ai fini della convergenza.
"Mephlip":
Comunque la strategia è corretta, ma a questo punto puoi procedere più velocemente semplicemente usando $\frac{2 \log n}{(\log n)^{\alpha}}$ come successione per il confronto asintotico.
Okk. Però scusa, non lo posso riscrivere come$2/(ln(n)^(alpha-1))$? E quindi la condizione per la convergenza sarebbe $alpha-1>1$. O sbaglio qualcosa concettualmente?
"Gianluk3":
Io ho utilizzato lo sviluppo di Taylor del logaritmo per dire che sono asintotiche.
Le successioni $\frac{\log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)}{(\log n)^{\alpha}}$ e $\frac{1}{n^2(\log n)^{\alpha}}$ non sono asintotiche per $n \to \infty$. Come hai usato Taylor? Me lo faresti vedere?
"Gianluk3":
Ok che non mi ci devo soffermare, però potresti dirmi perchè ai fini della convergenza non lo devo considerare il termine $ \log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right) $? Perchè io vedendo che comunque il denominatore dipende da $alpha$, ho pensato che l'avrei dovuto considerare ai fini della convergenza.
Perché quando $n \to \infty$ hai che $\log(n^2+n+1)$ è asintotico a $2 \log n$, perciò nel limite del rapporto il denominatore $2 \log n$ "compensa" il $2 \log n$ che viene da $\log(n^2+n+1)=\log \left[n^2\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)\right]$ e poi $\log\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right) \to 0$.
Comunque ti consiglio di scrivere i limiti che calcoli per affermare che certe cose sono asintotiche ad altre, altrimenti ci sono due problemi: non ci capiamo bene e poi magari non è vero che sono asintotiche (come in questo caso) e possiamo farti notare perché non lo sono dai conti.
"Gianluk3":
Okk. Però scusa, non lo posso riscrivere come$2/(ln(n)^(alpha-1))$? E quindi la condizione per la convergenza sarebbe $alpha-1>1$. O sbaglio qualcosa concettualmente?
Se per dire che "converge se $\alpha-1>1$" stai facendo un confronto con $\sum \frac{1}{n^{\beta}}$ sbagli qualcosa concettualmente, perché in $\sum \frac{2}{(\log n)^{\alpha-1}}$ c'è $(\log n)^{\alpha-1}$ al denominatore e non $n^{\beta}$; è completamente diverso, ci deve essere una potenza di $n$ e non di $\log n$.
Se invece stai facendo un confronto con $\sum \frac{1}{n^{\beta} (\log n)^{\gamma}}$ la conclusione è errata, perché per la serie $\sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}}$ ci sono condizioni sia sul parametro $\beta$ sia su quello $\gamma$. In particolare, se $\beta<1$ la serie $\sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}}$ diverge per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$.
"Mephlip":
[quote="Gianluk3"]
Io ho utilizzato lo sviluppo di Taylor del logaritmo per dire che sono asintotiche.
Le successioni $\frac{\log \left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)}{(\log n)^{\alpha}}$ e $\frac{1}{n^2(\log n)^{\alpha}}$ non sono asintotiche per $n \to \infty$. Come hai usato Taylor? Me lo faresti vedere?
[/quote]
Io ho fatto $ \log(n^2+n+1)=\log \left[n^2\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)\right] = 2log(n)+log(1+(n+1)/n^2)$ e da questo secondo termine dato che $->0$, ho usato l'espansione $log(1+x)= x+o(x)$, quindi nel caso specifico sarebbe $(n+1)/n^2+o((n+1)/n^2)= 1/n+o(1/n)$.
"Mephlip":
Perché quando $n \to \infty$ hai che $\log(n^2+n+1)$ è asintotico a $2 \log n$, perciò nel limite del rapporto il denominatore $2 \log n$ "compensa" il $2 \log n$ che viene da $\log(n^2+n+1)=\log \left[n^2\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)\right]$ e poi $\log\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right) \to 0$.
Comunque ti consiglio di scrivere i limiti che calcoli per affermare che certe cose sono asintotiche ad altre, altrimenti ci sono due problemi: non ci capiamo bene e poi magari non è vero che sono asintotiche (come in questo caso) e possiamo farti notare perché non lo sono dai conti.
Ma al denominatore non ho $2log(n)$. Dove l'hai preso?
Quindi come ho diviso io la successione di partenza in due termini non va bene? Non riesco a capire questo. Perchè in teoria ho due pezzi che dipendono da $alpha$ no? Non riesco a "vedere bene" il passaggio che fai tu più che altro e quanto sia diverso dal mio.
"Mephlip":
Se per dire che "converge se $\alpha-1>1$" stai facendo un confronto con $\sum \frac{1}{n^{\beta}}$ sbagli qualcosa concettualmente, perché in $\sum \frac{2}{(\log n)^{\alpha-1}}$ c'è $(\log n)^{\alpha-1}$ al denominatore e non $n^{\beta}$; è completamente diverso, ci deve essere una potenza di $n$ e non di $\log n$.
Se invece stai facendo un confronto con $\sum \frac{1}{n^{\beta} (\log n)^{\gamma}}$ la conclusione è errata, perché per la serie $\sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}}$ ci sono condizioni sia sul parametro $\beta$ sia su quello $\gamma$. In particolare, se $\beta<1$ la serie $\sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}}$ diverge per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$.
Ah ok. Ora ho capito. Non avevo capito che divergesse se $beta$ fosse $=0$
"Gianluk3":
Io ho fatto $ \log(n^2+n+1)=\log \left[n^2\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)\right] = 2log(n)+log(1+(n+1)/n^2) $ e da questo secondo termine dato che $ ->0 $, ho usato l'espansione $ log(1+x)= x+o(x) $, quindi nel caso specifico sarebbe $ (n+1)/n^2+o((n+1)/n^2)= 1/n+o(1/n) $.
E perché allora hai un quadrato sulla $n$ a denominatore in questo messaggio che hai scritto? Quando dividi per $(\log n)^{\alpha}$ nello sviluppo di Taylor che ti ho quotato appena sopra hai $$\frac{2\log n+\log\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)}{(\log n)^{\alpha}} \approx_{n \to \infty} \frac{2}{(\log n)^{\alpha-1}}+\frac{1}{n(\log n)^{\alpha}}$$
Ora sì che sono asintotiche, ma tu ieri hai scritto $\frac{1}{n^2(\log n)^{\alpha}}$ nel secondo addendo a membro di destra nella (presunta) stima asintotica qui sopra; non avendo neanche scritto che stavi facendo un confronto asintotico, ho dovuto supporre che lo stessi facendo (ho detto "presunta" perché hai scritto "cercato di ricondurmi alla serie notevole", visto che non era possibile che fossero manipolazioni algebriche ho supposto che intendessi l'uso di un confronto asintotico, per favore scrivi sempre quello che fai o, come in questo post, si fa fatica a capirsi visto che non siamo faccia a faccia).
Il $2\log n$ di cui parlavo viene fuori dal fatto che per dimostrare la stima asintotica io ho calcolato il limite di un rapporto, tu hai usato uno sviluppo di Taylor. Alla fine è equivalente, pensavo conoscessi questo altro approccio; scusami per il fraintendimento.
Detto ciò, cambia tutto se non la $n$ a denominatore del secondo termine non è elevata al quadrato: ecco perché ti dicevo che non mi risultavano asintotiche (per questo ti ho chiesto di scrivere i passaggi).
Dato che la serie di $\frac{1}{(\log n)^{\gamma}}$ diverge per ogni $\gamma $, per confronto asintotico diverge anche la serie di partenza.
Potevamo fare molto più in fretta usando un confronto asintotico immediato con $\frac{2 \log n}{(\log n)^{\alpha}}$, ma bisognava appunto conoscere il comportamento della serie $\sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}}$ quando $\beta=0$.
Perdonami se non ho scritto tutto, cerco sempre di essere più chiaro possibile ma evidentemente non lo sono stato.
No purtroppo non lo conosco. Diciamo che conosco le cose base e ad esempio questa serie l'ho cercata su internet$ \sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}} $. (non faccio matematica all'università quindi ci fanno le lezioni molto meno "rigorose").
Ne approfitto: Nel nostro caso, il $gamma$ di $ \frac{1}{(\log n)^{\gamma}} $, sarebbe $alpha-1$ di $2/log(n)^(alpha-1)$ giusto? E non c'entra nulla nel dire che diverge la limitazione di convergenza $alpha>0$ vero?
"Mephlip":
Alla fine è equivalente, pensavo conoscessi questo altro approccio
No purtroppo non lo conosco. Diciamo che conosco le cose base e ad esempio questa serie l'ho cercata su internet$ \sum \frac{1}{n^{\beta}(\log n)^{\gamma}} $. (non faccio matematica all'università quindi ci fanno le lezioni molto meno "rigorose").
"Mephlip":
$ \frac{1}{(\log n)^{\gamma}} $
Ne approfitto: Nel nostro caso, il $gamma$ di $ \frac{1}{(\log n)^{\gamma}} $, sarebbe $alpha-1$ di $2/log(n)^(alpha-1)$ giusto? E non c'entra nulla nel dire che diverge la limitazione di convergenza $alpha>0$ vero?
Sì esatto, il $\gamma$ in quel caso è $\alpha-1$: ricorda che nella teoria uno scrive quantità generiche, poi si adattano di caso in caso. Quel $\gamma$ è un esponente generico per il caso generale, in questo caso specifico è $\beta=0$ e $\gamma=\alpha-1$.
Non so se ho capito la parte sulla limitazione: forse intendi dire che stiamo considerando il caso $\alpha>0$ perché è l'unico caso possibile in cui potrebbe esserci convergenza (a causa della condizione necessaria)? Se ho capito bene: allora sì, in questo caso non c'entra nulla ma solo perché quella serie diverge per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$ e quindi c'è poco da considerare cosa succede all'esponente o in che intervallo si trova $\alpha$.
Tuttavia, se la serie confronto fosse stata convergente, ad esempio, per $\gamma <8$, allora avresti dovuto sì considerare $\alpha>0$ e $\alpha-1<8 \iff \alpha <9$ e quindi in conclusione ci sarebbe stata convergenza per $0<\alpha<9$, perché eravamo nel caso specifico in cui deve essere anche $\alpha>0$. Spero di aver capito bene il tuo dubbio e di averlo risolto!
Non so se ho capito la parte sulla limitazione: forse intendi dire che stiamo considerando il caso $\alpha>0$ perché è l'unico caso possibile in cui potrebbe esserci convergenza (a causa della condizione necessaria)? Se ho capito bene: allora sì, in questo caso non c'entra nulla ma solo perché quella serie diverge per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$ e quindi c'è poco da considerare cosa succede all'esponente o in che intervallo si trova $\alpha$.
Tuttavia, se la serie confronto fosse stata convergente, ad esempio, per $\gamma <8$, allora avresti dovuto sì considerare $\alpha>0$ e $\alpha-1<8 \iff \alpha <9$ e quindi in conclusione ci sarebbe stata convergenza per $0<\alpha<9$, perché eravamo nel caso specifico in cui deve essere anche $\alpha>0$. Spero di aver capito bene il tuo dubbio e di averlo risolto!
"Mephlip":
Sì esatto, il $\gamma$ in quel caso è $\alpha-1$: ricorda che nella teoria uno scrive quantità generiche, poi si adattano di caso in caso. Quel $\gamma$ è un esponente generico per il caso generale, in questo caso specifico è $\beta=0$ e $\gamma=\alpha-1$.
Non so se ho capito la parte sulla limitazione: forse intendi dire che stiamo considerando il caso $\alpha>0$ perché è l'unico caso possibile in cui potrebbe esserci convergenza (a causa della condizione necessaria)? Se ho capito bene: allora sì, in questo caso non c'entra nulla ma solo perché quella serie diverge per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$ e quindi c'è poco da considerare cosa succede all'esponente o in che intervallo si trova $\alpha$.
Tuttavia, se la serie confronto fosse stata convergente, ad esempio, per $\gamma <8$, allora avresti dovuto sì considerare $\alpha>0$ e $\alpha-1<8 \iff \alpha <9$ e quindi in conclusione ci sarebbe stata convergenza per $0<\alpha<9$, perché eravamo nel caso specifico in cui deve essere anche $\alpha>0$. Spero di aver capito bene il tuo dubbio e di averlo risolto!
Grazie mille Mephlip ancora per il tuo aiuto!
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