Convergenza di una serie
Dovrei determinare per quali x la serie con termine generale $(x-1)^n/n$ converge. Io ho fatto così:
La serie si comporta come la serie di termine generale $(x-1)^n$. Se $x>1$ la serie è a termini positivi quindi posso applicare il criterio della radice e ottenere che converge per $x<2$. Se $x=1$ ovviamente converge. Se invece $x<1$ allora scrivo la serie come $(-1)^n (|x-1|)^n$. Se $x<-1$ non viene soddisfatta la condizione necessaria di convergenza poiché il limite non esiste. Resta il caso $|x|<=1$. Posso applicare Leibniz poiché la successione è decrescente, quindi ho convergenza.
In conclusione la serie converge per $-1<=x<2$.
La soluzione dovrebbe invece essere $0<=x<2$. Non riesco a trovare l'errore del mio ragionamento. Qualcuno sa quale passaggio contiene l'errore?
La serie si comporta come la serie di termine generale $(x-1)^n$. Se $x>1$ la serie è a termini positivi quindi posso applicare il criterio della radice e ottenere che converge per $x<2$. Se $x=1$ ovviamente converge. Se invece $x<1$ allora scrivo la serie come $(-1)^n (|x-1|)^n$. Se $x<-1$ non viene soddisfatta la condizione necessaria di convergenza poiché il limite non esiste. Resta il caso $|x|<=1$. Posso applicare Leibniz poiché la successione è decrescente, quindi ho convergenza.
In conclusione la serie converge per $-1<=x<2$.
La soluzione dovrebbe invece essere $0<=x<2$. Non riesco a trovare l'errore del mio ragionamento. Qualcuno sa quale passaggio contiene l'errore?
Risposte
Ciao Søren,
Si ha:
$ln(1 + t) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n - 1}}{n} t^n \qquad \text{per} - 1 < t \le 1 \implies ln(frac{1}{1 - t}) = sum_{n=1}^infty frac{t^n}{n} \qquad \text{per} - 1 \le t < 1 $
(risultato che si può ottenere anche integrando la serie geometrica). La serie proposta si ottiene ponendo $t:= x - 1 $, per cui in definitiva si ha:
$ sum_{n=1}^infty frac{(x - 1)^n}{n} = ln(frac{1}{2 - x}) \qquad text{ per } 0 \le x < 2 $
Si ha:
$ln(1 + t) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n - 1}}{n} t^n \qquad \text{per} - 1 < t \le 1 \implies ln(frac{1}{1 - t}) = sum_{n=1}^infty frac{t^n}{n} \qquad \text{per} - 1 \le t < 1 $
(risultato che si può ottenere anche integrando la serie geometrica). La serie proposta si ottiene ponendo $t:= x - 1 $, per cui in definitiva si ha:
$ sum_{n=1}^infty frac{(x - 1)^n}{n} = ln(frac{1}{2 - x}) \qquad text{ per } 0 \le x < 2 $
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