Convergenza di una serie
Buonasera,
Mi sono imbattuto in questo esercizio dove devo calcolare per quali valori la serie converge:
$sum_(n=1)^oo (8x^2+3x)^n/(n(x+1)^n) $
Inizialmente applicando il criterio asintotico l'ho semplificata cosi:
$ sum_(n=1)^oo (8x^2)^n/(x+1)^n $
$ sum_(n=1)^oo 1/((x+1)^n*8x^(-2n) $
Ma il valore che devo trovare è riferito alla $x$ e non a $n$ quindi non so come calcolarlo.
Qualche suggerimento? Grazie
Mi sono imbattuto in questo esercizio dove devo calcolare per quali valori la serie converge:
$sum_(n=1)^oo (8x^2+3x)^n/(n(x+1)^n) $
Inizialmente applicando il criterio asintotico l'ho semplificata cosi:
$ sum_(n=1)^oo (8x^2)^n/(x+1)^n $
$ sum_(n=1)^oo 1/((x+1)^n*8x^(-2n) $
Ma il valore che devo trovare è riferito alla $x$ e non a $n$ quindi non so come calcolarlo.
Qualche suggerimento? Grazie
Risposte
Attenzione: $x$, che in mancanza di informazioni specifiche suppongo essere un parametro reale, è fissato: non puoi usare il criterio del confronto asintotico come hai fatto tu.
D'altro canto la serie si presta bene al criterio della radice.
D'altro canto la serie si presta bene al criterio della radice.
io direi di essere d'accordo con @Weierstress solo sulla prima parte. il criterio della radice lo applicherei solo negli intervalli dove $(8x^2+3x)/(x+1)>=0$. in quelli dove è negativo la serie oscilla.
questo perchè il criterio della radice si applica solo nel caso di successioni definitivamente positive.
questo perchè il criterio della radice si applica solo nel caso di successioni definitivamente positive.
Yes sir, sottintendevo proprio questo. Ovviamente il criterio della radice si applica sul modulo del termine generale. Comunque, grazie per averlo specificato, sarebbe potuto sfuggire al richiedente.
Effettuando questa sostituzione
Si puo studiare come serie di potenza
$y = (8x^2+3x)/(x+1)$
Si puo studiare come serie di potenza
Ciao Dot.who,
Si ha:
$ ln(1 + t) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n - 1}}{n} t^n \qquad |t| < 1 \implies ln(frac{1}{1 - t}) = sum_{n=1}^infty frac{t^n}{n} \qquad |t| < 1 $
(risultato che si può trovare anche integrando la serie geometrica). L'ultima serie scritta è proprio quella che hai proposto con $t := frac{8x^2 + 3x}{x + 1} $: pertanto converge per $|frac{8x^2 + 3x}{x + 1}| < 1 $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(8x^2 + 3x)^n}{n(x + 1)^n} = \ln \bigg[\dfrac{x + 1}{(2x + 1)(1 - 4x)}\bigg] \qquad \text{ per } -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}}
\end{equation}[/tex]
Si ha:
$ ln(1 + t) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n - 1}}{n} t^n \qquad |t| < 1 \implies ln(frac{1}{1 - t}) = sum_{n=1}^infty frac{t^n}{n} \qquad |t| < 1 $
(risultato che si può trovare anche integrando la serie geometrica). L'ultima serie scritta è proprio quella che hai proposto con $t := frac{8x^2 + 3x}{x + 1} $: pertanto converge per $|frac{8x^2 + 3x}{x + 1}| < 1 $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(8x^2 + 3x)^n}{n(x + 1)^n} = \ln \bigg[\dfrac{x + 1}{(2x + 1)(1 - 4x)}\bigg] \qquad \text{ per } -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}}
\end{equation}[/tex]
Grazie mille per l'aiuto e tutti!! 
"Weierstress":
Yes sir, sottintendevo proprio questo.
ops, scusami!
"CristianMascia":
Si puo studiare come serie di potenza
questa è una terminologia per serie di funzioni, mentre questa mi pare di capire essere una serie numerica con parametro $x in RR$.
la serie di potenze cui ti riferisci tu ha la forma $sum_n a_n(z-z_0)^n$ (dove ho usato le z perchè si generalizza facilmente in $CC$)
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