Convergenza di una serie

questa è la traccia di un'esercizio d'esame con lo svolgimento.
Io ho studiato la convergenza in un altro modo. Vorrei sapere se è giusto anche farlo così:

Risposte
Meglio scrivere le [formule][/formule] (clic) come si deve.
Comunque, l'idea è giusta ma per sciatteria scrivi cose proprio sbagliate. Per esempio,
\[
\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \pi.\]
La tua ultima disuguaglianza quindi dice \(\pi <1\), che è clamorosamente falso. Inoltre, stai usando il criterio di confronto asintotico, che è un criterio di convergenza assoluta, quindi devi studiare
\[\left\lvert \sin(\pi/2^n)\right\rvert, \]
non dimenticare il valore assoluto.
In ogni caso, il risultato finale (la serie converge) è corretto. Ma il tuo metodo non ti fornisce una stima dell'errore, attenzione.
Comunque, l'idea è giusta ma per sciatteria scrivi cose proprio sbagliate. Per esempio,
\[
\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \pi.\]
La tua ultima disuguaglianza quindi dice \(\pi <1\), che è clamorosamente falso. Inoltre, stai usando il criterio di confronto asintotico, che è un criterio di convergenza assoluta, quindi devi studiare
\[\left\lvert \sin(\pi/2^n)\right\rvert, \]
non dimenticare il valore assoluto.
In ogni caso, il risultato finale (la serie converge) è corretto. Ma il tuo metodo non ti fornisce una stima dell'errore, attenzione.
Ciao dissonance,
In realtà
$ |sin(\pi/2^n)| = sin(\pi/2^n) $
dato che $sin(\pi/2^n) > 0 \AA n \ge 1 $.
@ mari.98
Oltre a tutto ciò che ti ha fatto osservare correttamente dissonance, manca un pezzo proprio all'inizio, quando scrivi
Per $ x \to 0 \qquad sin(\pi/2^n) $ [tex]\sim[/tex] $(\pi/2^n) $
ed invece avresti dovuto scrivere
Per $ x \to 0 \qquad sin(x) $ [tex]\sim[/tex] $ x \implies $ per $n to +\infty \qquad sin(\pi/2^n) $ [tex]\sim[/tex] $(\pi/2^n) $
In realtà
$ |sin(\pi/2^n)| = sin(\pi/2^n) $
dato che $sin(\pi/2^n) > 0 \AA n \ge 1 $.
@ mari.98
Oltre a tutto ciò che ti ha fatto osservare correttamente dissonance, manca un pezzo proprio all'inizio, quando scrivi
Per $ x \to 0 \qquad sin(\pi/2^n) $ [tex]\sim[/tex] $(\pi/2^n) $
ed invece avresti dovuto scrivere
Per $ x \to 0 \qquad sin(x) $ [tex]\sim[/tex] $ x \implies $ per $n to +\infty \qquad sin(\pi/2^n) $ [tex]\sim[/tex] $(\pi/2^n) $
"pilloeffe":
Ciao dissonance,
In realtà
$ |sin(\pi/2^n)| = sin(\pi/2^n) $
dato che $sin(\pi/2^n) > 0 \AA n \ge 1 $.
Sono d'accordo, ma queste cose vanno scritte. Altrimenti uno si abitua e incappa in errori come questo:
ERRORE CLASSICO: La serie
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\]
converge, ma adesso dimostreremo che non converge (?!). Dimostrazione (sbagliata): Siccome
\[
\frac{(-1)^n}{n} \sim \frac{1}{n}, \]
abbiamo che
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=+\infty.\]
@mari.98: Dov'è l'errore?
In generale come ho detto di recente sconsiglio sempre l'uso di \(\sim\), \(\approx\) eccetera. Sono simboli ambigui e generano errori molto facilmente. Se si vuole fare una analisi asintotica, sempre meglio portarsi dietro l'errore sotto forma di O-grande o di o-piccolo.
$\ pi sum_{n=1}^oo 1/(2^n) = pi $
perché è uguale a $pi$ ?
perché è uguale a $pi$ ?
Beh, perché
$ sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2^n) = sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2^n) - 1 = sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n - 1 = frac{1}{1 - 1/2} - 1 = 2 - 1 = 1 $
$ sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2^n) = sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2^n) - 1 = sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n - 1 = frac{1}{1 - 1/2} - 1 = 2 - 1 = 1 $
nel secondo passaggio come mai c'è -1?
Perché, come dovresti sapere (occhio agli indici),
$ sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n = 1 + sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n \implies sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n = sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n - 1 $
$ sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n = 1 + sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n \implies sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n = sum_{n=0}^{+\infty} (1/2)^n - 1 $
grazie ho capito
