Convergenza di una serie

[ludovica.sarandrea]

Buonasera, ho il seguente esercizio:
Determinare il carattere della seguente serie $\sum(1/(n^3ln(n)))^((n/7)sin(2/n))$
io ho riscritto $a_n=e^((n/7)sin(2/n))ln(1/(n^3ln(n))$ e a questo punto ho osservato che $ln(1/(n^3ln(n))) Ora non so piu' cosa fare. datemi un suggerimento

[Weierstress]

Hello.

Nota che all'esponente $n/7sin(2/n)∼2/7$; allora si ha $(1/(n^3logn))^(2/7)=1/(n^(6/7)log^(2/7)n)$ che per confronto con la serie armonica modificata diverge positivamente.

[Lebby]

Ciao. Innanzitutto qua ho inteso la serie con indice n da 1 a infinito. Prima di iniziare a fare discussioni varie, per convergere, la tua serie deve soddisfare la condizione necessaria per la convergenza ovvero $ lim_(n -> ∞) an=0 $

an lo puoi riscrivere come $ e^((n/7)sin(2/n)(ln(1/(ln(n)n^3))) $
Dove, usando una proprietà dei logaritmi ho portato fuori l'esponente dell'argomento. Adesso scompongo l'argomento del logaritmo che è un rapporto, come differenza di logaritmi. Ottengo ln(1) che vale 0 e il - del secondo logaritmo lo porto fuori.
Ottengo:
$ e^(-(n/7)sin(2/n)(ln(ln(n)n^3)) $ $ rArr $ $ e^(-(3n/7)sin(2/n)(ln(n)) $ Riconoscendo ln(n) come o piccolo di n^3. Adesso trascuro ln(n) rispetto a n (infatti ln(n) è o piccolo di n) e sviluppo in serie di Taylor il seno fino al primo termine.
$ rArr $ $ e^(-(3n/7)(2/n) $ $ rArr $ $ e^-(6/7) \ne 0$
Allora la serie non può convergere.