Convergenza di una serie
Ciao ancora, 
Ho un dubbio: presa la serie: $sum(-1)^k *1/(lnk)(x-1)^k$
Prima ho provato a studiarla con il crit di Leibnitz:
la serie è a termini positivi perchè $ln (x)>0, AA x>1$, mentre il numeratore è $1$ ... ma allora la mia serie converge! (oppure devo guardare altre cose?)
Per calcolarmi il raggio ri convergenza $f$ faccio:
$L= lim 1/lnk :1/ln(k+1) =lim ln(k+1)/lnk = e^ln(k+1)/e^lnk = lim (k+1)/k=1 => r= 1/L = 1/1 = 1$, quindi avendo trovato il mio raggio di convergenza posso dire che la serie converge nell'intervallo $(0-2)$ dato che è centrata in $x_0=1$.
Ora devo controllare che succede negli estremi del raggio di conv.:
Nel caso $x=0$ ho che la mia serie diventa: $sum(-1)^k *1/(lnk)(0-1)^k = sum(-1)^k *1/(lnk)(-1)^k = sum(-1)^(2k) *1/(lnk)$, ora siccome $(-1)^k$ è sempre positivo, posso anche toglierlo perchè $1$ non influenza la somma (se non sbaglio si dice che è l'elemento neutro rispetto alla somma) e rimango con $sum1/(lnk)
Invece nel punto $x=2$ la serie diventa: $sum(-1)^k *1/(lnk)(2-1)^k = sum(-1)^k *1/(lnk)(1)^k$ Ora, la mia domanda è $lim_n 1^k = 1^\infty = \text(indeterminato)$?? Come posso fare? devo studiare il limite $lim_n 1^k/lnk$ ?
Ho un dubbio: presa la serie: $sum(-1)^k *1/(lnk)(x-1)^k$
Prima ho provato a studiarla con il crit di Leibnitz:
la serie è a termini positivi perchè $ln (x)>0, AA x>1$, mentre il numeratore è $1$ ... ma allora la mia serie converge! (oppure devo guardare altre cose?)
Per calcolarmi il raggio ri convergenza $f$ faccio:
$L= lim 1/lnk :1/ln(k+1) =lim ln(k+1)/lnk = e^ln(k+1)/e^lnk = lim (k+1)/k=1 => r= 1/L = 1/1 = 1$, quindi avendo trovato il mio raggio di convergenza posso dire che la serie converge nell'intervallo $(0-2)$ dato che è centrata in $x_0=1$.
Ora devo controllare che succede negli estremi del raggio di conv.:
Nel caso $x=0$ ho che la mia serie diventa: $sum(-1)^k *1/(lnk)(0-1)^k = sum(-1)^k *1/(lnk)(-1)^k = sum(-1)^(2k) *1/(lnk)$, ora siccome $(-1)^k$ è sempre positivo, posso anche toglierlo perchè $1$ non influenza la somma (se non sbaglio si dice che è l'elemento neutro rispetto alla somma) e rimango con $sum1/(lnk)
Invece nel punto $x=2$ la serie diventa: $sum(-1)^k *1/(lnk)(2-1)^k = sum(-1)^k *1/(lnk)(1)^k$ Ora, la mia domanda è $lim_n 1^k = 1^\infty = \text(indeterminato)$?? Come posso fare? devo studiare il limite $lim_n 1^k/lnk$ ?
Risposte
Grazie mille per la risoluzione chiara!!
Era quello che pensavo anche io: spero di averlo scritto nel mio posto
Nonostante cio' faccio fatica a convincermi che $1/ln(n)$ diverge ma $(-1)^n*1/ln(n)$ converge.
Ad uno come me, che non è del settore... la cosa è veramente ... confusa (al meno all'inizio)
Ma invece come faccio nel punto $x=2$, come vedi io mi sono impantanato. con $1^k$ nel limite... dove ho sbagliato?
Era quello che pensavo anche io: spero di averlo scritto nel mio posto
Nonostante cio' faccio fatica a convincermi che $1/ln(n)$ diverge ma $(-1)^n*1/ln(n)$ converge.
Ad uno come me, che non è del settore... la cosa è veramente ... confusa
(al meno all'inizio)Ma invece come faccio nel punto $x=2$, come vedi io mi sono impantanato. con $1^k$ nel limite... dove ho sbagliato?
hmmm...
mi sembra di capire che tu non abbia dovuto calcolare alcun limite perchè col criterio di leibnitz, non serve. basta che sia infinitesima e non negativa!
Giusto?
Ma nel caso io mi trovassi a doverlo studiare? se avessi $sum_n 1^n/n$ ?
mi sembra di capire che tu non abbia dovuto calcolare alcun limite perchè col criterio di leibnitz, non serve. basta che sia infinitesima e non negativa!
Giusto?
Ma nel caso io mi trovassi a doverlo studiare? se avessi $sum_n 1^n/n$ ?
@ BoG: Quanto vale \(1^n\) per ogni \(n\)? 
ciao gugo, beh... direi:
$1^0=1$
$1^1=1$
$1^2=1*1=1$
$1^3=1*1*1=1$
...
Pero' se googlo "limiti indeterminati" compare anche $1^\infty$) e dato che la mia serie va da $n=0$ (oppure da $1, 2$) fino ad infinito.. ho pensato che... fosse una forma indet.
Dici di no ?
$1^0=1$
$1^1=1$
$1^2=1*1=1$
$1^3=1*1*1=1$
...
Pero' se googlo "limiti indeterminati" compare anche $1^\infty$) e dato che la mia serie va da $n=0$ (oppure da $1, 2$) fino ad infinito.. ho pensato che... fosse una forma indet.
Dici di no ?
Siamo alle solite.
Non riesco a capire se i docenti non spiegano più cosa significa "forma indeterminata"; oppure se gli studenti non sono più abituati a prestare la dovuta attenzione alle parole dei docenti...
Tagliamo la testa al toro: ti hanno mai spiegato cosa si intende con la locuzione "forma indeterminata"?
Non riesco a capire se i docenti non spiegano più cosa significa "forma indeterminata"; oppure se gli studenti non sono più abituati a prestare la dovuta attenzione alle parole dei docenti...
Tagliamo la testa al toro: ti hanno mai spiegato cosa si intende con la locuzione "forma indeterminata"?
spiegato... diciamo che hanno dato un elenco di situazioni! $0*\infty, \infty-\infty, \infty/\infty, 0/0, 1^infty, 0^0$
Si, vabbé... Abbiamo capito che conosci i simboli.
Ma che significa la locuzione "il limite è in forma indeterminata"?
Ma che significa la locuzione "il limite è in forma indeterminata"?
significa che al tendere a infinito, il limite non è intuibile, il suo comportamento è instabile e incalcolabile con i metodi convenzionali
Esatto... In altri termini, si dice che un "limite è in forma indeterminata" quando non si può stabilirne il valore a priori (cioé usando i teoremi sui limiti) prescindendo dal caso particolare (cioé senza sapere nient'altro sulle funzioni coinvolte, tranne il fatto che esse producono "robe strane" al limite).
Nel caso in esame, la successione di termine generale ce l'hai assegnata \(a_n=1^n\): essa è una successione costante, poiché per ogni indice \(n\) hai \(a_n=1\).
Quindi, conoscendo tutte le informazioni che conosci, il limite è in forma determinatissima poiché esso è il limite di una successione costante:
\[
\lim_n a_n = \lim_n 1=1\; .
\]
Allo stesso modo, i limiti \(\lim_n 0^n\) e \(\lim_n n 0^n\) non sono affatto in forma indeterminata.
Nel caso in esame, la successione di termine generale ce l'hai assegnata \(a_n=1^n\): essa è una successione costante, poiché per ogni indice \(n\) hai \(a_n=1\).
Quindi, conoscendo tutte le informazioni che conosci, il limite è in forma determinatissima poiché esso è il limite di una successione costante:
\[
\lim_n a_n = \lim_n 1=1\; .
\]
Allo stesso modo, i limiti \(\lim_n 0^n\) e \(\lim_n n 0^n\) non sono affatto in forma indeterminata.
"gugo82":
Allo stesso modo, i limiti \(\lim_n 0^n\) e \(\lim_n n 0^n\) non sono affatto in forma indeterminata.
mi sono sempre chiesto perchè $0^\infty$ è indeterminato!! se dal niente nasce niente e io ho proprio un niente... avro' comunque un niente... per quante volte lo vada a moltiplicare
Grazie mille della spiegazione
Ed infatti non è una forma indeterminata:
puoi agevolmente osservare che,se $EElim_(n to oo)a_n=0,lim_(n to oo)b_n=+oo("oppure "-oo)$,allora $EElim_(n to oo)|a_n|^(b_n)=lim_(n to oo)e^(b_n log|a_n|)=0^+("oppure "+oo)$..
Saluti dal web.
N.B.
Non credere che quanto hai appena letto confermi formalmente la bontà dl tuo ragionamento:
se esso fosse corretto,procedendo con analoghe considerazioni,avresti che $1^(oo)=1$..
La morale,insomma,è sempre quella(fai merenda con Girella
):
davanti al concetto di limite non dare nulla per troppo scontato che,sopratutto agli inizi(ma pure dopo ),
è spesso alquanto imprevedibile..
puoi agevolmente osservare che,se $EElim_(n to oo)a_n=0,lim_(n to oo)b_n=+oo("oppure "-oo)$,allora $EElim_(n to oo)|a_n|^(b_n)=lim_(n to oo)e^(b_n log|a_n|)=0^+("oppure "+oo)$..
Saluti dal web.
N.B.
Non credere che quanto hai appena letto confermi formalmente la bontà dl tuo ragionamento:
se esso fosse corretto,procedendo con analoghe considerazioni,avresti che $1^(oo)=1$..
La morale,insomma,è sempre quella(fai merenda con Girella
):davanti al concetto di limite non dare nulla per troppo scontato che,sopratutto agli inizi(ma pure dopo
),è spesso alquanto imprevedibile..
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