Convergenza di una serie

[HeroGian]

Ragazzi ho svolto un esercizio riguardo alle serie, il problema è che è sprovvisto di soluzioni, perciò volevo chiedervi se secondo voi è giusto come l'ho svolto.. grazie

Studiare il carattere della serie seguente:

$\sum_{n=1}^oo (n!)/(n^sqrt(n))$

Condizione necessaria per la convergenza della serie:

$\lim_{n\to \infty} (n!)/(n^sqrt(n)) = 0$ quindi la serie può convergere

applico il criterio del confronto asintotico con la serie armoniga generalizzata $\sum_{n=1}^oo 1/n^2$ che converge

$\lim_{n\to \infty} (n!)/(n^sqrt(n))/1/n^2 = \lim_{n\to \infty} (n^2n!) / (n^sqrt(n)) = 0$

quindi dato che $\sum_{n=1}^oo 1/n^2$ converge $rArr$ $\sum_{n=1}^oo (n!)/(n^sqrt(n))$ converge

[laura1232]

a me risulta che $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^{\sqrt{n}}}=+\infty$

[HeroGian]

perchè?? $n^n $ non è un infinito di grado superiore di $n! $ ??

[laura1232]

$n^n$ si ma $n^{\sqrt{n}}$ no

[HeroGian]

non capisco, come faccio ad inquadrare $n^sqrt(n)$ nella gerarchia degli infiniti??

[_prime_number]

Prova applicando la formula di Stirling al fattoriale, otterrai un termine asintoticamente equivalente a quello dato. Fatto questo, applica il criterio della radice e vedrai che la serie non converge!

Paola

[HeroGian]

io sono arrivato fin qui, ma presumo sia sbagliato

$ n! ~ sqrt(2pin)(n/e)^n $

$(n!)/(n^sqrt(n)) ~ (sqrt(2pin)(n/e)^n) / (n^sqrt(n))$

applico il criterio della radice:

$root(n)( (sqrt(2pin)(n/e)^n ) / (n^sqrt(n) )$ = $root(n)( (sqrt(2pin)(n/e)^n ) )/ root(n)((n^sqrt(n)) $ = $( (n/e)root(n)(sqrt(2pin) ) )/ root(n)(n^sqrt(n)) $ = $ (n / e(2pin)^(1/(2n))) / (n^(sqrt(n) / n)) $

e poi non so più come andare avanti..

[_prime_number]

Argh, aiuto che caos
Con Stirling ottieni il termine $\sqrt{2\pi}\frac{n^{n+1/2 -\sqrt{n}}}{e^n}$
e quando applichi il criterio della radice (ignoriamo la costante $\sqrt{2\pi}$ che tanto "esce" dalla sommatoria):
$\frac{1}{e} n^{1+1/(2n) - 1/(\sqrt{n})}$ che va ad $\infty$
(la radice l'ho applicata elevando alla $1/n$, è più pulito)
Più chiaro?

Paola

[HeroGian]

più o meno credo di aver capito, grazie