Convergenza di una serie

Pierlu11
Qualcuno può darmi un aiuto per svolgere un esercizio di questo tipo?
Studiare la convergenza della serie al variare di $ x $ .
$ sum_{n=1}^infty ((x^2-5)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $
Grazie in anticipo!

Risposte
gugo82
Cos'hai provato?

Pierlu11
Prima ho diviso due casi:
a) $ x^2-5<0 $ che comporta una serie del tipo $ sum_{n=1}^infty((-)^n(5-x^2)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $ (non so se è corretto); poi avrei trovato i valori del parametro per cui $ ((5-x^2)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $ è decrescente;
b) $ x^2-5>=0 $ con la quale non so come lavorare... vedendo $ (x^2-5)^n $ e $ 4^n $ avrei pensato si riunirli per una serie geometrica oppure pensavo al confronto asintotico ma non mi porta da nessuna parte...

Noisemaker
Be anzitutto osserva che non si tratta di una serie a termini positivi, in quanto la quantità a numeratore devia il segno del termine generale della serie; allora per poter applicare un qualsivoglia criterio per le serie a termini positivi, consideriamo il valore assoluto del termine generale
\begin{align} \left|\frac{(x^2-5)^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\right|=\frac{\left|(x^2-5)\right| ^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\end{align}
a questo punto siamo difronte ad una serie a termimi positivi, cui possiamo applicare, ad esempio il criterio del rapporto:
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{\left|(x^2-5)\right| ^{n+1}}{4^{n+1}(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}{\left|(x^2-5)\right| ^n}&= \lim_{n \to \infty} \frac{\left|(x^2-5)\right| ^{n }\cdot \left|(x^2-5)\right|}{4^{n}\cdot 4(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}{\left|(x^2-5)\right| ^n}\\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot (1+n^2)^{\frac{1}{3}}= \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}\\\\
&=\begin{cases}
\mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}<1 ,\\\\
-3 \mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}>1\\\\
x<-3\,\,\cup\,\,-13
& \mbox{diverge};\\\\
\mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}=1\\\\
x=\pm3,x=\pm1 & \mbox{criterio inefficace};
\end{cases}
\end{align}
a questo punto,resta da controllare cosa succede per i valori in cui il criterio risulta inefficace:

    [*:2f15ovrq] se $x=\pm3$ la serie diviene:
    \begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}} \end{align}
    che è una serie a termini positivi, cui applicando il criterio del confronto asintotico otteniamo:
    \begin{align} \frac{1}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{1}{ n^{\frac{2}{3}}} \to\mbox{diverge} \end{align}[/*:m:2f15ovrq]
    [*:2f15ovrq]se $x=\pm1$ la serie diviene:
    \begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-4)^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ (-1)^n\cdot 4^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ (-1)^n}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}} \end{align}
    che è una serie a segni alterni; essendo infitesimo e decrescente il termine $a_n$ per Leibniz risulta convergente;[/*:m:2f15ovrq][/list:u:2f15ovrq]
    In conclusione, la serie converge per $-3

Pierlu11
Grazie mille per la risposta!!!
Ho una sola domanda... come mi assicuro che per i valori di x per cui diverge assolutamente, diverge anche semplicemente?

Noisemaker
te lo assicura il criterio che hai applicato.

Pierlu11
Mettendo il termine generico in modulo non si sta studiando la convergenza e la divergenza assoluta della serie?

gugo82
La condizione necessaria alla convergenza è soddisfatta solo se \(\frac{|x^2-5|}{4}\leq 1\), ossia per \(1\leq |x|\leq 3\).
Quindi, se \(|x|<1\) oppure \(|x|>3\) la serie non può convergere; in particolare, per \(|x|<1\), la serie oscilla, mentre per \(|x|>3\) la serie diverge positivamente.

D'altra parte, quando \(1<|x|<3\), la convergenza è necessariamente assoluta, in quanto la successione degli addendi tende a zero esponenzialmente.

Gli unici casi da dirimere sarebbero \(|x|=1\) e \(|x|=3\), ma ciò si fa sostituendo nella serie e vedendo che esce fuori (come peraltro ha fatto Noisemaker).

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