Convergenza di una serie

[Pierlu11]

Qualcuno può darmi un aiuto per svolgere un esercizio di questo tipo?
Studiare la convergenza della serie al variare di $ x $ .
$ sum_{n=1}^infty ((x^2-5)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $
Grazie in anticipo!

[gugo82]

Cos'hai provato?

[Pierlu11]

Prima ho diviso due casi:
a) $ x^2-5<0 $ che comporta una serie del tipo $ sum_{n=1}^infty((-)^n(5-x^2)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $ (non so se è corretto); poi avrei trovato i valori del parametro per cui $ ((5-x^2)^n)/(4^n(1+n^2)^(1/3)) $ è decrescente;
b) $ x^2-5>=0 $ con la quale non so come lavorare... vedendo $ (x^2-5)^n $ e $ 4^n $ avrei pensato si riunirli per una serie geometrica oppure pensavo al confronto asintotico ma non mi porta da nessuna parte...

[Noisemaker]

Be anzitutto osserva che non si tratta di una serie a termini positivi, in quanto la quantità a numeratore devia il segno del termine generale della serie; allora per poter applicare un qualsivoglia criterio per le serie a termini positivi, consideriamo il valore assoluto del termine generale
\begin{align} \left|\frac{(x^2-5)^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\right|=\frac{\left|(x^2-5)\right| ^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\end{align}
a questo punto siamo difronte ad una serie a termimi positivi, cui possiamo applicare, ad esempio il criterio del rapporto:
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{\left|(x^2-5)\right| ^{n+1}}{4^{n+1}(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}{\left|(x^2-5)\right| ^n}&= \lim_{n \to \infty} \frac{\left|(x^2-5)\right| ^{n }\cdot \left|(x^2-5)\right|}{4^{n}\cdot 4(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}{\left|(x^2-5)\right| ^n}\\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4(1+(n+1)^2)^{\frac{1}{3}}}\cdot (1+n^2)^{\frac{1}{3}}= \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}\\\\
&=\begin{cases}
\mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}<1 ,\\\\
-3 \mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}>1\\\\
x<-3\,\,\cup\,\,-13
& \mbox{diverge};\\\\
\mbox{se } \frac{ \left|(x^2-5)\right|}{4}=1\\\\
x=\pm3,x=\pm1 & \mbox{criterio inefficace};
\end{cases}
\end{align}
a questo punto,resta da controllare cosa succede per i valori in cui il criterio risulta inefficace:

[*:2f15ovrq] se $x=\pm3$ la serie diviene:
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}} \end{align}
che è una serie a termini positivi, cui applicando il criterio del confronto asintotico otteniamo:
\begin{align} \frac{1}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}}\sim\frac{1}{ n^{\frac{2}{3}}} \to\mbox{diverge} \end{align}[/*:m:2f15ovrq]
[*:2f15ovrq]se $x=\pm1$ la serie diviene:
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-4)^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ (-1)^n\cdot 4^n}{4^n(1+n^2)^{\frac{1}{3}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ (-1)^n}{ (1+n^2)^{\frac{1}{3}}} \end{align}
che è una serie a segni alterni; essendo infitesimo e decrescente il termine $a_n$ per Leibniz risulta convergente;[/*:m:2f15ovrq][/list:u:2f15ovrq]
In conclusione, la serie converge per $-3
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[Pierlu11]

Grazie mille per la risposta!!!
Ho una sola domanda... come mi assicuro che per i valori di x per cui diverge assolutamente, diverge anche semplicemente?

[Noisemaker]

te lo assicura il criterio che hai applicato.

[Pierlu11]

Mettendo il termine generico in modulo non si sta studiando la convergenza e la divergenza assoluta della serie?

[gugo82]

La condizione necessaria alla convergenza è soddisfatta solo se \(\frac{|x^2-5|}{4}\leq 1\), ossia per \(1\leq |x|\leq 3\).
Quindi, se \(|x|<1\) oppure \(|x|>3\) la serie non può convergere; in particolare, per \(|x|<1\), la serie oscilla, mentre per \(|x|>3\) la serie diverge positivamente.

D'altra parte, quando \(1<|x|<3\), la convergenza è necessariamente assoluta, in quanto la successione degli addendi tende a zero esponenzialmente.

Gli unici casi da dirimere sarebbero \(|x|=1\) e \(|x|=3\), ma ciò si fa sostituendo nella serie e vedendo che esce fuori (come peraltro ha fatto Noisemaker).