Convergenza di un integrale improprio negativo
Salve, mi è capitato davanti questo integrale improprio:
$ int_(0)^(1) (cos^2x)/root(5)(x^4-1) dx $ .
Studiando la funzione integranda $ f(x)=(cos^2x)/root(5)(x^4-1) $ nell'intervallo $ I=[0,1] $ , ho notato che essa è continua per $ AA x in I - (1) $ , ed è sempre negativa per $ AA x in I $ .
La questione che mi pongo è: in che modo vanno applicati i criteri di convergenza (in questo caso del confronto asintotico) quando ci troviamo davanti ad un integrale improprio del genere? Bisogna moltiplicare la funzione per $ -1 $ e studiare la $ -f(x) $ ? Comunque di primo impatto, l'integrale mi sembra convergente.
$ int_(0)^(1) (cos^2x)/root(5)(x^4-1) dx $ .
Studiando la funzione integranda $ f(x)=(cos^2x)/root(5)(x^4-1) $ nell'intervallo $ I=[0,1] $ , ho notato che essa è continua per $ AA x in I - (1) $ , ed è sempre negativa per $ AA x in I $ .
La questione che mi pongo è: in che modo vanno applicati i criteri di convergenza (in questo caso del confronto asintotico) quando ci troviamo davanti ad un integrale improprio del genere? Bisogna moltiplicare la funzione per $ -1 $ e studiare la $ -f(x) $ ? Comunque di primo impatto, l'integrale mi sembra convergente.
Risposte
I criteri di convergenza assoluta si applicano al valore assoluto della funzione integranda. Ti basta quindi cambiare il segno.
Puoi anche, più semplicemente, riscrivere l'integrale come
$$-\int_0^1\frac{\cos^2 x}{\sqrt[5]{1-x^4}}\ dx$$
e procedere "dimenticando" il meno.
$$-\int_0^1\frac{\cos^2 x}{\sqrt[5]{1-x^4}}\ dx$$
e procedere "dimenticando" il meno.
"ciampax":
Puoi anche, più semplicemente, riscrivere l'integrale come
$$-\int_0^1\frac{\cos^2 x}{\sqrt[5]{1-x^4}}\ dx$$
e procedere "dimenticando" il meno.
E dunque, se convergerà quest'ultimo, convergerà anche quello di partenza?
Ovvio, alla fine semplicemente potrai dire che il valore assunto dall'integrale è negativo.
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