Convergenza di un integrale improprio
Ciao a tutti!
Questo argomento proprio non riesce ad entrarmi in testa ed anche oggi facendo esercizi mi sono trovato questo problema:
devo studiare se l'integrale improprio qui sotto è convergente, divergente o oscillante.
[tex]\int_0^1 $(((2-x)^\pi) - 2)/(xsin(3x))$[/tex]
So che ho a disposizione i criteri di convergenza ma in questo caso non riesco a capire quale mi conviene usare e come applicarli.
Vi ringrazio della collaborazione!
ciao a tutti
Questo argomento proprio non riesce ad entrarmi in testa ed anche oggi facendo esercizi mi sono trovato questo problema:
devo studiare se l'integrale improprio qui sotto è convergente, divergente o oscillante.
[tex]\int_0^1 $(((2-x)^\pi) - 2)/(xsin(3x))$[/tex]
So che ho a disposizione i criteri di convergenza ma in questo caso non riesco a capire quale mi conviene usare e come applicarli.
Vi ringrazio della collaborazione!
ciao a tutti
Risposte
Ciao! Provo a dirti la mia, ma non so se è corretta!
Controlli se la funzione è continua negli estremi di integrazione e se presenta delle singolarità nell'intervallo di integrazione. La funzione è continua su $(0,1]$ quindi studi il comportamento in un intorno di 0+ esaminando una funzione asintotica (pi'ù "facile" di f(x)) a f(x) in un intorno di quel punto. Per usare il confronto asintotico è necessario che sia
$ f(x)>=0$ cosa che è verificata quando $x->0+ ,(2-x)^pi -> 2^pi$ e perciò 2^pi>2 ..numeratore e denominatore sono positivi!
Per trovare la funzione asintotica usi gli sviluppi di taylor per $x->0+$
$(2-x)^pi=2^pi -(pi 2^pi x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2 +O(x^3)$
$sin 3x=3x+O(x^3)$
ottieni una $g(x)=(2^pi -(pi 2^pi x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2-2)/(3x^2)$..
Qua ho il dubbio più grande:
Per determinare la convergenza di f(x) controlli che $2^pi /(3x^2) + -(pi 2^pi x^2)/(3x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2/(3x^2)-2/(3x^2)$ tutti questi convergono..
a me viene che l'integrale del primo diverge il secondo pure, il terzo converge e il quarto diverge..
quindi $int f(x)$ diverge (è sufficiente che uno solo degli integradi di g(x) diverga per dire che f(x)diverge)
Aspettiamo qualcuno che dica se è giusto oppure no.. perché io non se sono molto sicuro!
Controlli se la funzione è continua negli estremi di integrazione e se presenta delle singolarità nell'intervallo di integrazione. La funzione è continua su $(0,1]$ quindi studi il comportamento in un intorno di 0+ esaminando una funzione asintotica (pi'ù "facile" di f(x)) a f(x) in un intorno di quel punto. Per usare il confronto asintotico è necessario che sia
$ f(x)>=0$ cosa che è verificata quando $x->0+ ,(2-x)^pi -> 2^pi$ e perciò 2^pi>2 ..numeratore e denominatore sono positivi!
Per trovare la funzione asintotica usi gli sviluppi di taylor per $x->0+$
$(2-x)^pi=2^pi -(pi 2^pi x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2 +O(x^3)$
$sin 3x=3x+O(x^3)$
ottieni una $g(x)=(2^pi -(pi 2^pi x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2-2)/(3x^2)$..
Qua ho il dubbio più grande:
Per determinare la convergenza di f(x) controlli che $2^pi /(3x^2) + -(pi 2^pi x^2)/(3x^2) +pi(pi-1)2^(pi-2)x^2/(3x^2)-2/(3x^2)$ tutti questi convergono..
a me viene che l'integrale del primo diverge il secondo pure, il terzo converge e il quarto diverge..
quindi $int f(x)$ diverge (è sufficiente che uno solo degli integradi di g(x) diverga per dire che f(x)diverge)
Aspettiamo qualcuno che dica se è giusto oppure no.. perché io non se sono molto sicuro!
MrMeaccia, la fai troppo lunga: basta vedere come si comporta la parte principale della funzione in $x=0$, la quale corrisponde a
$f(x)\sim{2^\pi-2}/{3x^2}$
e verifichi che l'integrale di questa non converga.
$f(x)\sim{2^\pi-2}/{3x^2}$
e verifichi che l'integrale di questa non converga.
Giusto! Grazie 
Ottimo! Grazie mille!
E' proprio la parte principale che non riuscivo a calcolare, perchè non sapevo che fare con la x al numeratore.
Grazie a tutti, gentilissimi
E' proprio la parte principale che non riuscivo a calcolare, perchè non sapevo che fare con la x al numeratore.
Grazie a tutti, gentilissimi
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