Convergenza di un integrale improprio

[markAcid]

Salve a tutti,

Ho trovato questo esercizio e vorrei provare a capire dove sbaglio:

Studiare la convergenza al variare del parametro

$ int_(0)^(1) sqrt(1-cos(x^alpha))/(xln(x+1))dx $




Allora innanzitutto osservo che è continua in (0,1]

Applico lo sviluppo di taylor e ottengo:

Numeratore:
$ sqrt(1-cos(x^alpha))= 1+(-cos(x^alpha))/2-((1-cos(x^alpha)))^2/8 +o(((1-cos(x^alpha)))^2/8) $
$ sqrt(1-cos(x^alpha))= 1+(-1+x^alpha/2)/2- (-1+x^alpha/2)^2/8 o((-1+x^alpha/2)^2/8)$

ovvero

$ sqrt(1-cos(x^alpha))= 5/8+3/2x^(2alpha) + o(x^(2alpha))$

Denominatore:

$ xlog(1+x)=x^2+o(x^2) $


E dunque ottengo $ (5/8+3/2x^(2alpha) + o(x^(2alpha)))/(x^2+o(x^2)) $

Posso allora studiare il comportamento dell'integrale improprio di questa nuova funzione e dal confronto asintotico desumere quello della funzione iniziale.

$ int_(0)^(1) (5/8+3/2x^(2alpha) + o(x^(2alpha)))/(x^2+o(x^2)) dx = int_(0)^(1) (5/8)/(x^2+o(x^2)) dx + int_(0)^(1) (3/2x^(2alpha))/(x^2+o(x^2)) $

per quanto riguarda il secondo ottengo che $ 3/2 int_(0)^(1) 1/(x^(2-2alpha)) $ e che sarà convergente per $ alpha>1/2 $ mentre è divergente per $ alpha<=1/2 $ .

Se guardo per il secondo integrale avendo $ 5/8int_(0)^(1) 1/x^2 dx $ mi viene che è sempre divergente

Quindi dalla proprietà degli integrali ottengo che è sempre divergente.


Non sono sicuro dell'ultimo passaggio, perchè in realtà se vado a studiare con WolframAlpha l'integral con i parametri $ alpha>1/2 $ converge e con $ alpha<=1/2 $ diverge.

Cosa sto sbagliando?

Edit: mi sono reso conto che se sviluppo il cos prima e poi la radice con taylor risolvo facilmente.

In generale il dubbio che mi assaliva era se potevo dire che f(x)+numero intero è asintotico di f(x), per esempio, che x^2-1 è asintotico di x^2.

[solaàl]

il dubbio che mi assaliva era se potevo dire che f(x)+numero intero è asintotico di f(x), per esempio, che x^2-1 è asintotico di x^2.

Sì. Oppure no. Dipende nell'intorno di quale punto varia \(x\): \(x-1\) va come \(x\) in un intorno di \(\pm\infty\), ma come 0 in un intorno di 1.

[markAcid]

Ok, per cui se ho $ 1/x +1 $ posso dire che $ x->0 $ è asintotico di $ 1/x $ , ma se ho $ x->+-oo $ allora + asintotico di 1. Giusto?

[gugo82]

Scusate, ma se il numeratore è infinitesimo in $0$ per $alpha >=0$, come può lo sviluppo di Taylor cominciare con un $5/8$?

[pilloeffe]

Ciao Marck0,

"Marck0":perchè in realtà se vado a studiare con WolframAlpha l'integral con i parametri $\alpha >1/2 $ converge e con $\alpha <= 1/2 $ diverge.

Beh, è evidente che il problema è in $0$, ma veramente a me l'integrale improprio proposto risulta divergente per $\alpha <= 1 $ (si può verificare facilmente nei casi $\alpha = 0 $ e $\alpha = 1$), mentre ad esempio converge per $\alpha = 2 $

[markAcid]

Pensavo nell'edit di aver riportato questa cosa e invece mi sono scordato.
Rifacendolo infatti si ottiene che è convergente per $ alpha>1 $ e divergente per $ alpha<=1 $ poichè verrebbe $ int_(0)^(1) 1/(sqrt2) 1/x^(2-alpha)dx $

Grazie della precisazione