Convergenza di un Integrale improprio

[Arjen10]

Salve Ragazzi ho un problema: non ho la minima idea di come si svolga questo esercizio

Discutere la convergenza del seguente integrale improprio : $\int_0^1(1/(sqrt(x)(x-4)))dx$

Per l'integrale improprio credo non ci siano problemi, il fatto è che non so come svolgere sta discussione della convergenza

Devo iniziare a svolgere prima l'integrale e poi col risultato fare qualcosa?
Come si svolge questo esercizio e a quanto converge questo integrale?

Aiutatemi vi prego

P.S. Potete verificare se l'integrale vi esce log2-log3?

Grazie in Anticipo

[stormy1]

l'integrale converge perchè per $x rarr 0$ l'integrando è un infinito di ordine minore di $1$
per risolverlo,poni $sqrtx=t$

[Arjen10]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta
Ho iniziato a svolgere l'integrale in maniera indefinita per trovarmi la primitiva,e, seguendo il tuo consiglio mi trovo:

$1/2(ln(sqrt(x)-2)-ln(sqrt(x)+2))$

mentre il risultato é $1/2(ln(2-sqrt(x))-ln(sqrt(x)+2))$

L'argomento del primo logaritmo differisce di segno, perché mi trovo cosi? Ho rifatto mille volte i calcoli ma non ho sbagliato niente a quanto pare! Help

[ostrogoto1]

Nel risultato dell'integrale l'argomento del logaritmo compare in modulo...

[Arjen10]

"stormy":l'integrale converge perchè per $x rarr 0$ l'integrando è un infinito di ordine minore di $1$
per risolverlo,poni $sqrtx=t$

Per quanto riguarda la convergenza, se la memoria non mi inganna, devo svolgere il limite della funzione per x che tende ai due estremi dell'intervallo cioè a $0$ e a $1$.

$\lim_{x \to \0} 1/(sqrt(x)(x-4)) = {\infty}$

$\lim_{x \to \1} 1/(sqrt(x)(x-4)) = -1/3$

(Ovviamente intendo 0+ e 1-)
Quindi nel primo caso avrei una divergenza per $x->0$ giusto?

Cosa intendi per infinito di ordine minore di $1$?

Comunque fatto cio vado a svolgere il limite di questo integrale : $\lim_{\lambda \to \0+}\int_{0+\lambda}^{1} 1/(sqrt(x)(x-4))$

Se mi trovo un numero finito esso è il valore dell'integrale improprio

Si svolge cosi questo esercizio?????

[stormy1]

ciao Arjen
per $x rarr 0$ si prende come infinito campione (di ordine 1) la funzione $phi(x)=1/x$
una funzione $y=f(x)$ ,infinita per $x rarr 0$,è un infinito di ordine minore di 1 se $ lim_(x -> 0) f(x)/(phi(x))=0 $
per il resto,direi che le tue considerazioni sono giuste

[Arjen10]

"stormy":ciao Arjen
per $x rarr 0$ si prende come infinito campione (di ordine 1) la funzione $phi(x)=1/x$
una funzione $y=f(x)$ ,infinita per $x rarr 0$,è un infinito di ordine minore di 1 se $ lim_(x -> 0) f(x)/(phi(x))=0 $
per il resto,direi che le tue considerazioni sono giuste

Stormy ti ringrazio d cuore

Ora però sono riuscito a svolgere l'integrale e il discorso di infiniti e infinitesimi mi è più chiaro....solo che non ho capito che collegamento c'è tra convergenza/divergenza e infiniti e infinitesimi.

Io credevo che per fare la convergenza dovevo semplicemente fare il limite della funzione per i due estremi dell intervallo (in questo caso $[0,1]$)come ho fatto sopra e siccome il limite per $x->0-$ mi era uscito infinito credevo che la funzione divergesse in quell'intorno e che quindi la questione era finita là.

E' errato cio che ho fatto?
Per stabilire la convergenza devo fare sempre questo discorso di infiniti e infinitesimi come hai fatto tu?
Questa funzione quindi non diverge come pensavo io ma converge perché il limite per $x->0 (f(x)/(\phi(x)))=0$?

[stormy1]

l'integrando diverge ma non diverge abbastanza perchè è un infinito di ordine minore di 1
se l'integrando fosse stato un infinito di ordine maggiore o uguale a 1 anche l'integrale sarebbe stato divergente

analogamente se hai una funzione continua in $[a,+infty)$ (o in $(-infty,b]$), che da un certo punto in poi non cambia segno, il suo integrale di estremi $a$ e $+infty$ converge solo se all'infinito la funzione è un infinitesimo di ordine maggiore di 1