Convergenza di un integrale con il metodo del confronto
Salve ragazzi volevo semplicemente chiedervi se questi passaggi che ho fatto per determinare se l'integrale converge sono corretti:
$ int_(2)^(oo) (cos(x) + e^((x+1)/x)) / x^2 dx $ che è sempre $ <= $ di $ int_(2)^(oo) (1 + e^((x+1)/x)) / x^2 dx $
e quindi per $ lim_(t -> oo) int_(2)^(t) (1 + e^((t+1)/t)) / t^2 dx $ deduco che questo è uguale a $ lim_(t -> oo) int_(2)^(t) (1 + e^1) / t^2 dx $ e quindi essendo corvegente implica che anche l'integrale di partenza converga
$ int_(2)^(oo) (cos(x) + e^((x+1)/x)) / x^2 dx $ che è sempre $ <= $ di $ int_(2)^(oo) (1 + e^((x+1)/x)) / x^2 dx $
e quindi per $ lim_(t -> oo) int_(2)^(t) (1 + e^((t+1)/t)) / t^2 dx $ deduco che questo è uguale a $ lim_(t -> oo) int_(2)^(t) (1 + e^1) / t^2 dx $ e quindi essendo corvegente implica che anche l'integrale di partenza converga
Risposte
uppino
Non hai l'uguaglianza dei due limiti; puoi eventualmente usare il confronto asintotico delle funzioni integrande.
In alternativa, osserva che $1 < \frac{x+1}{x} = 1+\frac{1}{x}\le \frac{3}{2}$ per ogni $x\ge 2$; di conseguenza
$0 < \cos(x) + e^{\frac{x+1}{x}} \le 1 + e^{3/2}$ per ogni $x\ge 2$, quindi la funzione integranda $f(x)$ soddisfa
$0 < f(x) \le frac{1 + e^{3/2}}{x^2}$ per ogni $x\ge 2$.
A questo punto concludi che l'integrale converge usando il criterio del confronto.
In alternativa, osserva che $1 < \frac{x+1}{x} = 1+\frac{1}{x}\le \frac{3}{2}$ per ogni $x\ge 2$; di conseguenza
$0 < \cos(x) + e^{\frac{x+1}{x}} \le 1 + e^{3/2}$ per ogni $x\ge 2$, quindi la funzione integranda $f(x)$ soddisfa
$0 < f(x) \le frac{1 + e^{3/2}}{x^2}$ per ogni $x\ge 2$.
A questo punto concludi che l'integrale converge usando il criterio del confronto.
I limiti non sono uguali, però il criterio del confronto dice che se prendiamo due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ continue su un intervallo $[a, +oo)$ tale che $ 0 <= f(x) <= g(x) $ $ AA x >= a $ allora:
se $ int_(a)^(+oo) g(x) dx $ è covergente, allora $ int_(a)^(+oo) f(x) dx $ è convergente.
Assumendo adesso:
$ f(x) = (sen(x) + e^((x+1)/x))/x^2 $
$ g(x) = (1 + e^((x+1)/x))/x^2 $
su $[2, +oo)
possiamo dedurre che allora l'integrale di partenza converge.
Il mio ragionamento fila? o sto sbagliando qualcosa ? e il fatto che i 2 limiti non siano uguali non condiziona assolutamente niente giusto ?
se $ int_(a)^(+oo) g(x) dx $ è covergente, allora $ int_(a)^(+oo) f(x) dx $ è convergente.
Assumendo adesso:
$ f(x) = (sen(x) + e^((x+1)/x))/x^2 $
$ g(x) = (1 + e^((x+1)/x))/x^2 $
su $[2, +oo)
possiamo dedurre che allora l'integrale di partenza converge.
Il mio ragionamento fila? o sto sbagliando qualcosa ? e il fatto che i 2 limiti non siano uguali non condiziona assolutamente niente giusto ?
Il tuo ragionamento è corretto, solo che ti rimane ancora da giustificare l'integrabilità di $g$ (ad esempio usando come confronto la funzione che ti ho scritto prima, oppure usando il criterio del confronto asintotico).
@fedeth: Gli "uppini" dopo 4 ore sono contro il regolamento (cfr. 3.4). Va bene che sei un nuovo utente, ma ciò non giustifica tale comportamento.
La prossima volta che becco un "up" fuori posto blocco il thread. Utente avvisato...
La prossima volta che becco un "up" fuori posto blocco il thread. Utente avvisato...
fedeth nel primo post hai scritto: $ int_(2)^(+oo) ((1+e^((x+1)/x))/x^2)dx $ e poi $ lim_(t -> +oo) int_(2)^(t) ((1+e^((t+1)/t))/t^2)dx $ riferendoti allo stesso integrale...ehm non vorrei sbagliarmi, ma non penso che tu possa sostituire la $x$ con la $t$ in quanto la $x$ è "muta" e la $t$ è la variabile indipendente della funzione integrale $F(t)=int_(2)^(t) ((1+e^((x+1)/x))/x^2)dx$, insomma quando fai tendere $t$ a $+oo$ è l'estremo dell'integrale ad andarsene a $+oo$ e non la variabile della funzione integranda
"calolillo":
fedeth nel primo post hai scritto: $ int_(2)^(+oo) ((1+e^((x+1)/x))/x^2)dx $ e poi $ lim_(t -> +oo) int_(2)^(t) ((1+e^((t+1)/t))/t^2)dx $ riferendoti allo stesso integrale...ehm non vorrei sbagliarmi, ma non penso che tu possa sostituire la $x$ con la $t$ in quanto la $x$ è "muta" e la $t$ è la variabile indipendente della funzione integrale $F(t)=int_(2)^(t) ((1+e^((x+1)/x))/x^2)dx$, insomma quando fai tendere $t$ a $+oo$ è l'estremo dell'integrale ad andarsene a $+oo$ e non la variabile della funzione integranda
Si forse ho capito cosa vuoi dire, che essendo t la variabile che tende ad infinito devo utilizzarla per risolvere il limite per determinare la covergenza o meno quando l'integrale è già risolto ?
Intendevi questo ?
Più o meno sì, in questo caso però non puoi trovare una primitiva dell'integranda quindi devi fare una stima asintotica o un confronto con un'altra funzione, ma sempre trattando $t$ e $x$ indipendentemente l'una dall'altra. Ad esempio $ int_(a)^(+oo) f(x)dx $ esiste se esiste il $ lim_(t -> +oo)F(t)= lim_(t -> +oo)int_(a)^(t) f(x)dx $ e sai che esiste ad esempio se $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $\alpha>1$ per $x$ che tende a $+oo$.
E perché non continuare con le maggiorazioni? L'esponenziale puoi maggiorarlo e trovare una funzione integranda $4/(x^2)$ che certamente converge.
Certo, sono d'accordo...io parlavo in generale 
Ragazzi scusate... pensavo di avere le idee chiare ma adesso me le sono confuse ? cosa si intende esattamente per maggiorazione ?
Per maggiorazione intendiamo trovare quella funzione che per ogni valore di $x$ è maggiore di un'altra funzione, se la prima converge, converge anche la seconda. Maggiorare = trovare una quantità maggiore
ah ok ok ! 
Il confronto insomma !
Il confronto insomma !
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