Convergenza di un integrale al variare di un parametro reale

[gasx95]

ciao ! Mi aiutereste a risolvere questo esercizio ? Grazie mille :)

[davi02]

Controlla il testo dell’esercizio: per

[math]p > 0[/math]

l’integrale

[math] \int\limits_0^1 \dfrac{e^x \cdot x^p}{x^2 + 1} dx[/math]

non è improprio, in quanto di funzione definita e continua in

[math][0, 1][/math]

.

[gasx95]

Il testo è proprio così... Forse il prof voleva che ci arrivassimo da soli a capire che non era improrio per p>0 :!!!
Comunque, capito ciò, l'integrale è convergente, grazie :)

Altra domanda: io capisco che la funzione è continua perchè composizione di funzioni continue e perchè il denominatore non dà problemi essendo sempre positivo e quindi definito ? O è meglio se lo vedo graficamente ? (correggimi pure se ho detto degli strafalcioni ;) )

[davi02]

Sì, la funzione integranda è continua in

[math][0,1][/math]

perché è frazione di due funzioni continue in

[math][0,1][/math]

, con il denominatore sempre diverso da 0. Il numeratore è funzione continua in

[math][0,1][/math]

perché è prodotto di due funzioni continue in

[math][0,1][/math]

, ecc.