Convergenza di un integrale
Ciao a tutti, ho un problema sulla convergenza di un' integrale..
mi viene dato: $\int_0^xt^sqrt(2)(t + 1)^sqrt(2)dt$ e devo dimostrare che per X tendente ad infinito, l' integrale diverge.
A questo punto viene data una spiegazione dal libro piettusto lunga e secondo per supurflua, ve la riporto:
per $t >= 1$ si ha $t^sqrt(2) > 1$ e $(t + 1)^sqrt(2) > t + 1$
Quindi applicando l' integrale si ha: $\int_0^xt^sqrt(2)(t + 1)^sqrt(2)dt$ > $\int_0^x(t + 1)dt$ ed integrando il secondo termine dell' uguaglianza si ottiene:
$x^2/2 + x - 3/2$. Questo polinomio lo chiameremo $g(x)$
Per concludere si nota che $\lim_{x \to \infty}g(x) = \infty $ Quindi l' integrale diverge. Ho capito il ragionamento ed è tutto ok, ma la mia domanda è: non bastava sviluppare l' argomento dell' integrale, (senza prendere in considerazione il coeff. 1 dato che per t che va da infinito non ha alcun valore), e si sarebbe ottenuto:
$\int_0^xt^2dt$ e dato che è un infinito di grado 2, allora l' integrale divergerebbe.
Che ne dite ?
Grazie in anticipo..
mi viene dato: $\int_0^xt^sqrt(2)(t + 1)^sqrt(2)dt$ e devo dimostrare che per X tendente ad infinito, l' integrale diverge.
A questo punto viene data una spiegazione dal libro piettusto lunga e secondo per supurflua, ve la riporto:
per $t >= 1$ si ha $t^sqrt(2) > 1$ e $(t + 1)^sqrt(2) > t + 1$
Quindi applicando l' integrale si ha: $\int_0^xt^sqrt(2)(t + 1)^sqrt(2)dt$ > $\int_0^x(t + 1)dt$ ed integrando il secondo termine dell' uguaglianza si ottiene:
$x^2/2 + x - 3/2$. Questo polinomio lo chiameremo $g(x)$
Per concludere si nota che $\lim_{x \to \infty}g(x) = \infty $ Quindi l' integrale diverge. Ho capito il ragionamento ed è tutto ok, ma la mia domanda è: non bastava sviluppare l' argomento dell' integrale, (senza prendere in considerazione il coeff. 1 dato che per t che va da infinito non ha alcun valore), e si sarebbe ottenuto:
$\int_0^xt^2dt$ e dato che è un infinito di grado 2, allora l' integrale divergerebbe.
Che ne dite ?
Grazie in anticipo..
Risposte
Certo che bastava... Il problema è cha non sempre è così semplice svolgere un integrale indefinito e determinare una primitiva dell'integrando (esempio classico : la funzione integrale $\int_0^x "e"^(-t^2) " d"t$ non è possibile esprimerla elementarmente), perciò occorre imparare altri metodi per stabilire la convergenza.
Uno di questi metodi è quello del confronto (usato nel tuo caso); nel tuo caso l'autore ha trovato una funzione minorante semplice semplice che aveva integrale divergente, quindi l'integrale di partenza diverge. Viceversa, se fosse stato possibile determinare una funzione maggiorante con integrale convergente, allora anche il tuo integrale di partenza sarebbe stato convergente.
Un altro criterio utile è quello dell'ordine di infinitesimo, o del confronto asintotico...
Converrai con me che partire da un esempio semplice aiuta di più a capire certi meccanismi che non partire da un esempio complesso; questo spiega la "spiegazione piuttosto lunga e superflua" (:roll:) del tuo libro.
*** EDIT: Un apostrofo di troppo.
Uno di questi metodi è quello del confronto (usato nel tuo caso); nel tuo caso l'autore ha trovato una funzione minorante semplice semplice che aveva integrale divergente, quindi l'integrale di partenza diverge. Viceversa, se fosse stato possibile determinare una funzione maggiorante con integrale convergente, allora anche il tuo integrale di partenza sarebbe stato convergente.
Un altro criterio utile è quello dell'ordine di infinitesimo, o del confronto asintotico...
Converrai con me che partire da un esempio semplice aiuta di più a capire certi meccanismi che non partire da un esempio complesso; questo spiega la "spiegazione piuttosto lunga e superflua" (:roll:) del tuo libro.
*** EDIT: Un apostrofo di troppo.
Ritengo che il testo avrebbe fatto cosa utile e giusta se avesse menzionato anche la soluzione di stefano_89 opportunamente formalizzata.
- Gugo82: (con tono di voce semiserio) Si, vabbè... Imbocchiamoli anche col cucchiaino adesso. Continuando a regredire di questo passo, tra poco vedremo libri per i nuovi ordinamenti con i Plasmon in allegato. (sorriso sarcastico)
@ Gugo82 :Ci poniamo da angolazioni diverse :
Tu metti l'accento sulla elementarizzazione ( che brutta parola !!) spinta dell'insegnamento universitario perlomeno in certi corsi del cosidetto Nuovo Ordinamento .In effetti su questa strada non so dove andremo a finire....
Io invece, in questo caso rimarcavo il fatto che i testi dovrebbero offrire varietà di soluzioni agli esercizi e non limitarsi , come spesso fanno solo alla soluzione più complessa.
Non è obbligatorio sparare ai moschini sempre e solo coi cannoni
Tu metti l'accento sulla elementarizzazione ( che brutta parola !!) spinta dell'insegnamento universitario perlomeno in certi corsi del cosidetto Nuovo Ordinamento .In effetti su questa strada non so dove andremo a finire....
Io invece, in questo caso rimarcavo il fatto che i testi dovrebbero offrire varietà di soluzioni agli esercizi e non limitarsi , come spesso fanno solo alla soluzione più complessa.
Non è obbligatorio sparare ai moschini sempre e solo coi cannoni
ah ok grazie ad entrambi..
...però se impari ad usare bene il cannone hai vinto!! 
le soluzioni "semplici" secondo me sono anche un buon esercizio da lasciare per casa agli studenti di buona volontà come stefano 
le soluzioni "semplici" secondo me sono anche un buon esercizio da lasciare per casa agli studenti di buona volontà come stefano
"neopeppe89":
...però se impari ad usare bene il cannone hai vinto!!
Non è affatto vero.
Ci sono molti casi, anche di interesse pratico, in cui il cannone non serve; anzi sono i ragionamenti semplici ad essere di gran lunga più utili nella soluzione di diversi problemi.
si gugo...però se sono semplici non dovrebbe essere lo studente stesso a saperli fare in autonomia?poi comunque dipende dal concetto di semplice che uno ha in testa...
"neopeppe89":
si gugo...però se sono semplici non dovrebbe essere lo studente stesso a saperli fare in autonomia?poi comunque dipende dal concetto di semplice che uno ha in testa...
Scusa, errore mio.
Il mio post precedente si riferiva alla tua frase "però se impari ad usare il cannone hai vinto", non certo alle considerazioni successive.
Purtroppo stamattina ero di fretta e non ho fatto caso di non aver cancellato dalla citazione la parte non interessata al commento.
tranquillo.comunque ho apprezzato l'osservazione dato che di 'esperienza matematica' ne ho relativamente poca quindi non so bene quanto sia utile il cannone...
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