Convergenza di serie numeriche
Buonasera a tutti,
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
Sono due giorni che provo a risolverne due senza riuscire nell'intento
1)\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(3-3\cos\bigg(\frac{n^2}{n^4+4}\bigg)\bigg)
\end{equation*}
2)\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n)^{2n}}{\binom{4n}{2n}}
\end{equation*}
La prima dovrebbe convergere a zero, ho fatto il limite del termine generico che va a zero ma questo non mi assicura la convergenza. Per quanto riguarda la seconda dovrebbe divergere, infatti il termine generico della successione tende ad infinito, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero che qualcuno potrà darmi una mano.
Vi auguro una buona serata
Amalia
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
Sono due giorni che provo a risolverne due senza riuscire nell'intento
1)\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(3-3\cos\bigg(\frac{n^2}{n^4+4}\bigg)\bigg)
\end{equation*}
2)\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n)^{2n}}{\binom{4n}{2n}}
\end{equation*}
La prima dovrebbe convergere a zero, ho fatto il limite del termine generico che va a zero ma questo non mi assicura la convergenza. Per quanto riguarda la seconda dovrebbe divergere, infatti il termine generico della successione tende ad infinito, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero che qualcuno potrà darmi una mano.
Vi auguro una buona serata
Amalia
Risposte
Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?
Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.
Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.
Ciao amalia.caggiano,
La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $
"amalia.caggiano":
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $
"pilloeffe":
Ciao amalia.caggiano,
[quote="amalia.caggiano"]sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $[/quote]
La seconda serie non converge perchè il termine generico tende a infinito. E' questo limite che non riesco a risolvere, mi aiuteresti?
Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge? E poi l'esercizio mi chiede di determinarne la somma, se è possibile.
"solaàl":
Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?
Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.
Non riesco a seguirti
"amalia.caggiano":
Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?
Farei così:
$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $
"amalia.caggiano":
[quote="solaàl"]Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?
Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.
Non riesco a seguirti
[/quote]Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?
"solaàl":
Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?
Decisamente più comodo il criterio del rapporto...
Eh, ma se dici chi è l'assassino a pagina 4...
"pilloeffe":
[quote="amalia.caggiano"]Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?
Farei così:
$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $[/quote]
grazie mille, ora è tutto più chiaro.
"solaàl":
[quote="amalia.caggiano"][quote="solaàl"]Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?
Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.
Non riesco a seguirti
[/quote]Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?[/quote]
Proviamo con il criterio del rapporto.
grazie
Perché non lo imposti allora? Lo imposti e lo sviluppi fino a dove riesci, poi ti si aiuta noi.
"otta96":
Perché non lo imposti allora? Lo imposti e lo sviluppi fino a dove riesci, poi ti si aiuta noi.
E' così?
"amalia.caggiano":
E' così?
Nel caso se ne ha voglia ti risponderà otta96, io già ci vedo poco...
Osservo però che non mi sarei imbarcato in questa marea di calcoli, ma avrei ragionato un po' sul limite:
$\lim_{n \to + \infty} a_n = \lim_{n \to + \infty} (4n)^{2n}/(((4n),(2n))) = \lim_{m \to + \infty} (2m)^{m}/(((2m),(m))) = \lim_{m \to + \infty} (2m)^{m}/(((2m)!)/((m!)^2)) = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m}(m!)^2)/((2m)!) = $
$ = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m}(m!)^2)/((2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1)\cdot m!) = $
$ = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m} m!)/((2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1)) = +\infty $
essendo ovviamente $(2m)^{m} > (2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1) $
"amalia.caggiano":
E' così?
Nei primo termine che hai scritto c'è un $4n$ dove doveva esserci un $4(n+1)$, questo probabilmente faceva comparire un fattore tipo $e^2$, ma non cambiava il succo del discorso (credo). Se vuoi puoi ricontrollare oppure segui il suggerimento di pilloeffe.
P.S. Cerca in futuro di evitare di postare foto, perché è più leggibile se scrivi con le formule come previsto anche dal regolamento.
"otta96":
[quote="amalia.caggiano"]E' così?
Nei primo termine che hai scritto c'è un $4n$ dove doveva esserci un $4(n+1)$, questo probabilmente faceva comparire un fattore tipo $e^2$, ma non cambiava il succo del discorso (credo). Se vuoi puoi ricontrollare oppure segui il suggerimento di pilloeffe.
P.S. Cerca in futuro di evitare di postare foto, perché è più leggibile se scrivi con le formule come previsto anche dal regolamento.[/quote]
Prima di tutto volevo scusarmi per aver messo la foto e ringraziarvi per i consigli.
Ho rifatto tutti i calcoli:
$a_{n+1}/a_n=\frac{(4n+4)^{2n+2}((2n+2)!)^2}{(4n+4)!}\frac{(4n)!}{(4n)^{2n}((2n)!)^2}=\frac{(4n+4)^{2n}(4n+4)^2((2n+2)!)^2}{(4n+4)(4n+3)2(2n+1)(4n+1)((4n)!)}\frac{((4n)!)}{(4)^{2n}n^{2n}((2n)!)^2}=\frac{(4)^{2n}(n+1)^{2n}4(n+1)(2n+2)^2(2n+1)^2((2n)!)^2}{(4n+3)2(2n+1)(4n+1)(4)^{2n}n^{2n}((2n)!)^2}=\frac{2(n+1)^{2n+1}(2n+2)^2(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}=\frac{8(n+1)^{2n+3}(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}$
$lim_{n to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n to +\infty}\frac{8(n+1)^{2n+3}(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}=lim_{n to +\infty} \frac{16n^{2n+4}}{16n^{2+2n}}=lim_{n to +\infty} n^2= +\infty$
Spero di non aver fatto altri errori...che dite?
Il limite lo hai svolto male, ma il risultato torna.
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