Convergenza di serie numeriche

amalia.caggiano
Buonasera a tutti,
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
Sono due giorni che provo a risolverne due senza riuscire nell'intento :cry:
1)\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(3-3\cos\bigg(\frac{n^2}{n^4+4}\bigg)\bigg)
\end{equation*}
2)\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n)^{2n}}{\binom{4n}{2n}}
\end{equation*}

La prima dovrebbe convergere a zero, ho fatto il limite del termine generico che va a zero ma questo non mi assicura la convergenza. Per quanto riguarda la seconda dovrebbe divergere, infatti il termine generico della successione tende ad infinito, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero che qualcuno potrà darmi una mano.
Vi auguro una buona serata
Amalia

Risposte
solaàl
Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.

pilloeffe
Ciao amalia.caggiano,
"amalia.caggiano":
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.

La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $

amalia.caggiano
"pilloeffe":
Ciao amalia.caggiano,
[quote="amalia.caggiano"]sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.

La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $[/quote]

La seconda serie non converge perchè il termine generico tende a infinito. E' questo limite che non riesco a risolvere, mi aiuteresti?
Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge? E poi l'esercizio mi chiede di determinarne la somma, se è possibile.

amalia.caggiano
"solaàl":
Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.


Non riesco a seguirti :cry:

pilloeffe
"amalia.caggiano":
Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?

Farei così:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $

solaàl
"amalia.caggiano":
[quote="solaàl"]Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.


Non riesco a seguirti :cry:[/quote]
Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?

pilloeffe
"solaàl":
Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?

Decisamente più comodo il criterio del rapporto... :wink:

solaàl
Eh, ma se dici chi è l'assassino a pagina 4...

amalia.caggiano
"pilloeffe":
[quote="amalia.caggiano"]Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?

Farei così:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $[/quote]

grazie mille, ora è tutto più chiaro.

amalia.caggiano
"solaàl":
[quote="amalia.caggiano"][quote="solaàl"]Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.


Non riesco a seguirti :cry:[/quote]
Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?[/quote]

Proviamo con il criterio del rapporto.
grazie

otta96
Perché non lo imposti allora? Lo imposti e lo sviluppi fino a dove riesci, poi ti si aiuta noi.

amalia.caggiano
"otta96":
Perché non lo imposti allora? Lo imposti e lo sviluppi fino a dove riesci, poi ti si aiuta noi.


E' così?


pilloeffe
"amalia.caggiano":
E' così?

Nel caso se ne ha voglia ti risponderà otta96, io già ci vedo poco... :wink:
Osservo però che non mi sarei imbarcato in questa marea di calcoli, ma avrei ragionato un po' sul limite:

$\lim_{n \to + \infty} a_n = \lim_{n \to + \infty} (4n)^{2n}/(((4n),(2n))) = \lim_{m \to + \infty} (2m)^{m}/(((2m),(m))) = \lim_{m \to + \infty} (2m)^{m}/(((2m)!)/((m!)^2)) = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m}(m!)^2)/((2m)!) = $
$ = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m}(m!)^2)/((2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1)\cdot m!) = $
$ = \lim_{m \to + \infty} ((2m)^{m} m!)/((2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1)) = +\infty $

essendo ovviamente $(2m)^{m} > (2m)(2m - 1)(2m - 2)\cdot ... \cdot (2m - m +1) $

otta96
"amalia.caggiano":
E' così?

Nei primo termine che hai scritto c'è un $4n$ dove doveva esserci un $4(n+1)$, questo probabilmente faceva comparire un fattore tipo $e^2$, ma non cambiava il succo del discorso (credo). Se vuoi puoi ricontrollare oppure segui il suggerimento di pilloeffe.
P.S. Cerca in futuro di evitare di postare foto, perché è più leggibile se scrivi con le formule come previsto anche dal regolamento.

amalia.caggiano
"otta96":
[quote="amalia.caggiano"]E' così?

Nei primo termine che hai scritto c'è un $4n$ dove doveva esserci un $4(n+1)$, questo probabilmente faceva comparire un fattore tipo $e^2$, ma non cambiava il succo del discorso (credo). Se vuoi puoi ricontrollare oppure segui il suggerimento di pilloeffe.
P.S. Cerca in futuro di evitare di postare foto, perché è più leggibile se scrivi con le formule come previsto anche dal regolamento.[/quote]

Prima di tutto volevo scusarmi per aver messo la foto e ringraziarvi per i consigli.
Ho rifatto tutti i calcoli:

$a_{n+1}/a_n=\frac{(4n+4)^{2n+2}((2n+2)!)^2}{(4n+4)!}\frac{(4n)!}{(4n)^{2n}((2n)!)^2}=\frac{(4n+4)^{2n}(4n+4)^2((2n+2)!)^2}{(4n+4)(4n+3)2(2n+1)(4n+1)((4n)!)}\frac{((4n)!)}{(4)^{2n}n^{2n}((2n)!)^2}=\frac{(4)^{2n}(n+1)^{2n}4(n+1)(2n+2)^2(2n+1)^2((2n)!)^2}{(4n+3)2(2n+1)(4n+1)(4)^{2n}n^{2n}((2n)!)^2}=\frac{2(n+1)^{2n+1}(2n+2)^2(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}=\frac{8(n+1)^{2n+3}(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}$

$lim_{n to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n to +\infty}\frac{8(n+1)^{2n+3}(2n+1)}{(4n+3)(4n+1)n^{2n}}=lim_{n to +\infty} \frac{16n^{2n+4}}{16n^{2+2n}}=lim_{n to +\infty} n^2= +\infty$

Spero di non aver fatto altri errori...che dite?

otta96
Il limite lo hai svolto male, ma il risultato torna.

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