Convergenza di serie di funzioni/potenze (serie lacunare)

[alx77]

Buongiorno a tutti.
Chiedo scusa in anticipo per eventuali errori di scrittura... non sono pratico di latex, spero mi aiuterete a correggermi.
Sto affrontando analisi 2: c'è un esercizio che mi suona molto strano sullo studio della convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni, da trattare come una particolare serie di potenze (lacunare).
Uno dei problemi è che le serie lacunari non le abbiamo affrontate (almeno non esplicitamente).

La serie è: [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{nx}}{n}[/tex]

che si potrebbe pensare come ottenuta applicando il teorema di integrazione per serie di funzioni di:

[tex]\sum_{n=0}^{+\infty} e^{nx}[/tex]

facendo la sostituzione [tex]y=e^{x}[/tex]

Purtroppo, però, il teorema di integrazione per serie di funzioni parla di [tex]\Re[/tex]-integrabilità, e quindi pensare di ottenere: [tex]\frac{e^{nx}}{n}[/tex] come [tex]\int_{-\infty}^{x}e^{n\tau}d\tau[/tex] non mi pare molto ortodosso (intervallo di integrazione illimitato, invece l' integrale di Riemann è su intervalli limitati).

Si potrebbe quindi applicare il teorema di integrazione per serie di potenze, più specifico, che parla sia di primitiva che di [tex]\Re[/tex]-integrabilità

Il fatto è che: facendo la sostituzione [tex]y=e^{x}[/tex] non si ottiene una serie di potenze "comune", ma appunto una serie lacunare (in questo caso l' intervallo di convergenza non è centrato). Intuitivamente mi viene da dire che poi la serie converge (assolutamente) per [tex]\left | y \right | < 1[/tex] e quindi, tenendo conto che per forza di cose [tex]y[/tex] è positiva, la serie di potenze deve convergere per [tex]0\leq y < 1[/tex] e quindi per [tex]x < 0[/tex].

Non so se finora ho detto delle bestialità, comunque i problemi veri arrivano adesso.
Applicando il teorema di integrazione per serie di potenze, io potrei dire (spero di non sbagliare, al limite per favore... non linciatemi) che:

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{nx}}{n} = \ln \frac{1}{1-e^{x}}[/tex]

e quindi studiare la convergenza totale della serie

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{y^{n}}{n}[/tex]

ottenendo il generico intervallo [tex][-a,a], 0
Facendo la sostituzione inversa (cioè tornando in x) ottengo come intervallo di convergenza (totale e quindi anche uniforme):

[tex]x \in (-\infty,\ln a][/tex]

Posso dire: convergenza totale [tex]\Rightarrow[/tex] convergenza uniforme, però non viceversa, e l' esercizio chiede di studiare la convergenza uniforme. Come fare quindi a capire se la serie, in qualche sottoinsieme di [tex][\ln a,0)[/tex], converge anche uniformemente ma non totalmente? Non mi viene in mente una espressione analitica della ridotta parziale n-esima, né un modo semplice per esprimere il resto ennesimo (e quindi calcolarne il sup e studiare la convergenza uniforme).

Non so se sono riuscito a spiegarmi correttamente, ma spero di avere reso l' idea del mio problema.
Ringrazio in anticipo chiunque mi potesse aiutare in qualche modo.

[gugo82]

Innanzitutto, dovremmo sapere cosa intendi per "serie lacunari" prima di risponderti.

A quanto ne so, in variabile complessa, una serie di potenze \(\sum a_n z^n\) si dice lacunare se non può essere prolungata in modo analitico al di fuori del proprio cerchio di convergenza. Se non ricordo male, la serie \(\sum z^{n!}\) è una serie lacunare.
Assumendo che nel caso reale il significato sia lo stesso (con le opportune modifiche circa l'insieme di convergenza), la serie del logaritmo, i.e.:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ x^n = -\ln (1-x)\; ,
\]
che converge in \([-1,1[\) non mi pare lacunare, perché il logaritmo può essere prolungato a sinistra di \(-1\)... Ma attendo anche io conferme.

Ad ogni modo, la serie assegnata è una serie riconducibile a s.d.p. con la sostituzione \(y=e^x\).
Facendo tale sostituzione si ottiene la s.d.p. ausiliaria, \(\sum \frac{y^n}{n}\), che converge per \(-1\leq y<1\), totalmente su ogni compatto contenuto in \(]-1,1[\) (per noti fatti di teoria) ed uniformemente su ogni compatto contenuto in \([-1,1[\) (per un famoso teorema di Abel).
Conseguentemente, la serie iniziale converge per tutte le \(x\) tali che \(-1\leq e^x<1\), i.e. per \(x\in ]-\infty ,0[\), e la convergenza è totale su ogni semiretta \(]-\infty ,a]\) con \(a<0\) (infatti, tramite la mappa esponenziale \(x\mapsto e^x\), la semiretta \(]-\infty,a]\) si trasforma nell'intervallo \(]0,e^a]\) e tale intervallo è contenuto nel compatto \([0,e^a]\), dentro il quale la s.d.p. ausiliaria converge totalmente), e perciò anche su ogni compatto contenuto in \(]-\infty ,0[\).

[alx77]

Buonasera gugo82, e anzitutto grazie per la risposta rapidissima.
Scusa se sono io a replicare un po' in ritardo: ho voluto un po' riflettere su quanto hai detto.

Innanzitutto, dovremmo sapere cosa intendi per "serie lacunari" prima di risponderti.

Ho dimenticato di dire che mi riferisco a sole serie reali, e che la definizione di serie lacunare che so io è quella del "Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli", che si trova a pag. 356:

cit. "Una serie di potenze che abbia infiniti coefficienti [tex]a_n[/tex] nulli si dice serie lacunare"

Inoltre, a questo punto del corso, non sono ancora stati introdotti i compatti, pertanto quello che hai detto in seguito mi appare un po' incomprensibile. Per di più, a me molti teoremi sono stati detti senza citarne l' autore (stile molto simile lo adotta il libro di cui sopra), quindi magari se, per favore, mi dici a quale teorema ti riferisci e dove posso trovarlo, te ne sarei grato.
Per il resto, io mi fermo a quando parli della semiretta [tex](-\infty,a][/tex], sulle ultime due righe non riesco a seguirti.
Eventualmente, riesci a consigliarmi altri testi? Ho a disposizione i due di Zwirner, ma non tratta questi argomenti approfonditamente: in particolare, le s.d.p. sono ancora nella parte di analisi 1, ed esercizi di questo livello ne sono esclusi.

Volevo anche chiederti: è esatto quello che ho scritto a proposito dell' integrazione per serie di funzioni (cioè, che non posso usare quel teorema, ma devo andare su quello per s.d.p.)?

Grazie ancora.

[gugo82]

Ah, vabbé... Dunque una serie lacunare è una serie con infiniti coefficienti nulli.

"alx77":a questo punto del corso, non sono ancora stati introdotti i compatti, pertanto quello che hai detto in seguito mi appare un po' incomprensibile.

Il concetto di intervallo compatto è qualcosa che risale alla notte dei tempi, cioé all'inizio del corso di Analisi I... Inoltre, ad esempio, i teoremi importanti sulla convergenza uniforme (tipo il teorema di integrabilità del limite uniforme) valgono nei compatti e solo lì (detta molto rozzamente).
Quindi mi pare davvero strano che tu non abbia mai sentito parlare di compatti finora.

"alx77":Per di più, a me molti teoremi sono stati detti senza citarne l' autore (stile molto simile lo adotta il libro di cui sopra), quindi magari se, per favore, mi dici a quale teorema ti riferisci e dove posso trovarlo, te ne sarei grato.

Quelli che ho citato sono risultati base della teoria.

Il primo teorema sul modo di convergenza delle serie di potenze è uno di quelli che si studia sempre:

Se una serie di potenze di centro \(x_0\) ha raggio di convergenza \(r>0\) (anche \(r=\infty\)), allora la serie converge totalmente, e quindi anche uniformemente ed assolutamente, su ogni intervallo compatto \([a,b]\subset ]x_0-r,x_0+r[\).

L'altro, detto teorema di Abel, assicura quel che segue:

Se una serie di potenze \(\sum a_n (x-x_0)^n\) di centro \(x_0\) ha raggio di convergenza \(r>0\) e \(\neq \infty\) e se la serie converge puntualmente in \(x_0+r\), allora la serie converge uniformemente su ogni intervallo compatto \([a,b]\subset ]x_0-r,x_0+r]\) e si ha:
\[
\lim_{x\to x_0+r} f(x) = \lim_{x\to x_0+r} \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n r^n\; .
\]
In maniera del tutto analoga, se la serie converge in \(x_0-r\), allora essa converge uniformemente su ogni intervallo compatto \([a,b]\subset [x_0-r,x_0+r[\) e si ha:
\[
\lim_{x\to x_0-r} f(x) = \lim_{x\to x_0-r} \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n (-r)^n\; .
\]

In altri termini, il teorema di Abel ti assicura che puoi spingerti fino nell'estremo dell'intervallo di convergenza in cui la serie converge conservando la convergenza uniforme, ma perdendo (in generale) la convergenza totale.

"alx77":Per il resto, io mi fermo a quando parli della semiretta \( (-\infty,a] \), sulle ultime due righe non riesco a seguirti.

Vediamo che si può fare.

Il passaggio incriminato era questo:

Ad ogni modo, la serie assegnata è una serie riconducibile a s.d.p. con la sostituzione \(y=e^x\).
Facendo tale sostituzione si ottiene la s.d.p. ausiliaria, \(\sum \frac{y^n}{n}\), che converge per \(-1\leq y<1\), totalmente su ogni compatto contenuto in \(]-1,1[\) (per noti fatti di teoria) ed uniformemente su ogni compatto contenuto in \([-1,1[\) (per un famoso teorema di Abel).
Conseguentemente, la serie iniziale converge per tutte le \(x\) tali che \(-1\leq e^x<1\), i.e. per \(x\in ]-\infty ,0[\), e la convergenza è totale su ogni semiretta \(]-\infty ,a]\) con \(a<0\) (infatti, tramite la mappa esponenziale \(x\mapsto e^x\), la semiretta \(]-\infty,a]\) si trasforma nell'intervallo \(]0,e^a]\) e tale intervallo è contenuto nel compatto \([0,e^a]\), dentro il quale la s.d.p. ausiliaria converge totalmente), e perciò anche su ogni compatto contenuto in \(]-\infty ,0[\).

Fino all'insieme di convergenza puntuale, i.e. \(]-\infty ,0[\), non c'è problema.

Ora, si tratta di studiare la convergenza uniforme.
Chiamiamo \(f\) la somma della serie in \(]-\infty, 0[\).
Che non ci possa essere convergenza uniforme in tutto \(]-\infty ,0[\) è evidente. Infatti, se ci fosse, ci sarebbe anche in \(]-\infty ,0]\) (questo è un fatto -più o meno banale- che discende dal fatto che \(\sup_{]-\infty ,0[} |u| = \sup_{]-\infty ,0]} |u|\) per ogni funzione \(u\) continua in \(]-\infty ,0[\)) quindi la somma \(f\) sarebbe limitata in \(]-\infty ,0]\); ma d'altra parte, invertendo limite e somma, avremmo:
\[
\lim_{x\to 0} f(x) = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to 0} \frac{1}{n}\ e^{nx} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty
\]
che è assurdo.
Si pone così il problema di studiare la convergenza "dentro" \(]-\infty, 0[\). Questo si può fare in due modi: o (1) applicando direttamente il criterio di Weierstrass oppure (2) sfruttando tutto ciò che si sà sul modo di convergenza della serie ausiliaria e sul cambiamento di variabile \(y=e^x\).

(1) Consideriamo un sottointervallo \((a,b)\subset ]-\infty , 0[\) (in cui le parentesi tonde denotano il fatto che non è importante sapere se gli estremi appartengano o meno all'intervallo) con \(-\infty\leq a Dato che \(\frac{1}{n}\ e^{nx}\) è funzione positiva e crescente, si ha:
\[
M_n := \sup_{x\in (a,b)} \left| \frac{1}{n}\ e^{nx} \right| = \sup_{x\in (a,b)} \frac{1}{n}\ e^{nx} = \frac{1}{n}\ e^{nb}
\]
e la serie numerica:
\[
\sum_{n=1}^\infty M_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ e^{nb}
\]
converge, perché maggiorata dalla serie geometrica convergente \(\sum (e^b)^n\) (ricorda che \(b<0\) implica \(0 Dato che non si erano fatte ipotesi né sulla tipologia dell'intervallo, né sulla finitezza di \(a\), il ragionamento precedente implica che la convergenza è totale su ogni intervallo del tipo \(]-\infty ,b]\) con \(b<0\).

(2) Questa è la strada che seguivo sopra, ma lascia stare.

"alx77":Eventualmente, riesci a consigliarmi altri testi? Ho a disposizione i due di Zwirner, ma non tratta questi argomenti approfonditamente: in particolare, le s.d.p. sono ancora nella parte di analisi 1, ed esercizi di questo livello ne sono esclusi.

Prendi un eserciziario sensato sulle serie di potenze... Ad esempio, qualche esercizio dovresti trovarlo sul Demidovic.

"alx77":Volevo anche chiederti: è esatto quello che ho scritto a proposito dell' integrazione per serie di funzioni (cioè, che non posso usare quel teorema, ma devo andare su quello per s.d.p.)?

Il teorema che citi non è necessario.
Infatti dato che la serie ausiliaria ha somma \(-\ln (1-y)\) in \([-1,1[\), la serie assegnata ha somma \(-\ln (1-e^x)\).

Tuttavia, se proprio vuoi usare il teorema di integrazione per serie puoi notare che:
\[
\frac{1}{n}\ e^{nx} = \int_{0}^{e^x} y^{n-1}\ \text{d} y
\]
sicché non c'è nessun integrale improprio di mezzo ed hai:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ e^{nx} = \sum_{n=1}^\infty \int_0^{e^x} y^{n-1}\ \text{d} y = \int_0^{e^x}\sum_{n=1}^\infty y^{n-1}\ \text{d} y = \int_0^{e^x} \frac{1}{1-y}\ \text{d} y=\ldots
\]