Convergenza di serie - Confronto asintotico

[Gatto891]

Siano [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$[/tex] e [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g_n(x)$[/tex] due serie di funzioni. Dal confronto asintotico, sappiamo che se [tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(x)}{g_n(x)} = k \neq 0[/tex] allora le due serie hanno lo stesso carattere (almeno per la convergenza puntuale).

Il mio dubbio è: si può estendere questa proprietà anche a convergenza uniforme e/o totale?

[fu^2]

quello che intedi è dimostrare o confutare la seguente affermazione, giusto?:

se [tex]\sum f_n(x)[/tex] converge uniformemente e [tex]\sum g_n(x)[/tex] ha lo stesso carattere della prima serie, allora anche [tex]\sum g_n(x)[/tex] converge uniformemente.

[Gatto891]

"fu^2":quello che intedi è dimostrare o confutare la seguente affermazione, giusto?:

se [tex]\sum f_n(x)[/tex] converge uniformemente e [tex]\sum g_n(x)[/tex] ha lo stesso carattere della prima serie, allora anche [tex]\sum g_n(x)[/tex] converge uniformemente.

Si (con stesso carattere ovviamente non intendo convergente/divergente ma il fatto che siano asintoticamente equivalenti).


Un esempio pratico: ho la serie [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{arctg(\frac{x}{n})}{n}[/tex]. Questa serie è asintotica a [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{n^2}[/tex] quindi, poichè quest'ultima converge puntualmente su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], anche la serie di partenza converge puntualmente su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex].
La domanda è: posso studiare la convergenza uniforme (totale) di [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{arctg(\frac{x}{n})}{n}[/tex] riconducendomi allo studio della convergenza uniforme (totale) di [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{n^2}[/tex]?

[dissonance]

Osservazione al volo: stai attento che questo criterio è valido solo per serie a termini positivi. Si estende ovviamente ad un criterio di convergenza assoluta, ma fallisce se pensi di usarlo in generale: può essere che una serie convergente non assolutamente abbia termine generale asintoticamente equivalente al t.g. di una serie non convergente. Probabilmente lo sai già ma siccome non lo menzioni nel primo post ho ritenuto opportuno specificarlo (così come è scritto il primo post è errato).

[fu^2]

Così su due piedi agginugo una cosa a quella detta da dissonance : essendo che una serie converge uniformemente se converge la serie [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystile\sup_{x\in A}|f_n(x)|[/tex], puoi calcolarti [tex]\sup_{x\in A}|f_n(x)|=a_n[/tex] ottenendo cioè una serie normale. Da qui la risposta che cerchi (se hai due serie di termini [tex]a_n,b_n[/tex] provenienti dalla procedura di calcolo del sup, puoi studiare il loro carattere asintotico e trarre le conclusioni che vuoi).


Questo volevi sapere? (modulo l'aver detto fesserie)

[Gatto891]

$\text{@Dissonance}$: Mea culpa, svista mia .

$\text{@Fu^2}$: Giusto... ma questo perchè serie a termini positivi asintoticamente equivalenti hanno anche le serie dei rispettivi sup asintoticamente equivalenti ?