Convergenza di serie con logaritmo

[SimonePietroCarrozza]

Buonasera a tutti!
Insieme ad un mio amico ci stiamo cimentando nel capire se la seguente serie è convergente o no

$\sum_{n=1}^\infty\frac{ln(1+\frac{1}{n^3})}{1+\frac{1}{n^3}}$

Procedendo nel seguente modo

$\sum_{n=1}^\infty\frac{ln((\frac{1}{n^3})(n^3 + 1))}{1+\frac{1}{n^3}}$ $=$
$=$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{ln(\frac{1}{n^3}) + ln(n^3 + 1)}{1+\frac{1}{n^3}}$ $=$
$=$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{-3ln(n) + ln(n^3 + 1)}{1+\frac{1}{n^3}}$ $=$
$=$ $-3 \sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n)}{1+\frac{1}{n^3}}+\sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n^3 - 1)}{1+\frac{1}{n^3}}$
Poiché il limite del termine generale di entrambe le serie è infinito e quindi per Cauchy non possono convergere, allora abbiamo pensato che la serie di partenza è divergente... il problema è che Wolfram dice che la serie per il criterio del confronto è convergente... com'è possibile?
Grazie a tutti per la disponibilità!

[Luca.Lussardi]

Che casino.. basta osservare che il numeratore e' asintotico a $\frac{1}{n^3}$ e fare il conto.

[Weierstress]

Ciao. Come dice Luca, $log(1+1/n^3)∼_(+oo)1/n^3$, $1+1/n^3∼_(+oo)1$ e quindi $a_n∼1/n^3$ e la serie converge per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.