Convergenza di serie
Buongiorno, avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio:
Per la prima e seconda serie dovrei esserci.
1. Il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui può convergere la serie. Osservo che la serie è asintotica alla serie
$sum_(n = 0)^(+oo) (1-1/(n+1))^(n^2)$, raccogliendo un termine n al denominare questa serie ha lo stesso andamento di $sum_(n = 0)^(+oo) (1-1/n)^(n^2)$ che è asintotica a sua volta a $sum_(n = 0)^(+oo) 1/e^n $ che è una serie geometrica di ragione $1/e$ convergente a $e/(e-1)$.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $1/e$.
2. Il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui la serie può convergete. Osservo che è una serie a termini positivi, pertanto è asintotica alla serie $sum_(n = 0)^(+oo) 1/n $ che è una serie armonica che diverge a $+oo$. Per cui la serie di partenza diverge per confronto asintotico.
3. Per la terza ho verificato che il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui può essere che converga. Ho provato a vederla come somma di due serie, ma la prima serie che ho considerato $sum_(n = 0)^(+oo) (nlog(1+1/n))$ non converge in quanto il termine generale $b_n$ non è infinitesimo. Ho provato ad applicare a tutta la serie il criterio del rapporto, ma ho come risultato $1$ il che mi porta a dire che il criterio è inconcludente. Sapreste aiutarmi? (Il risultato dice che converge assolutamente).
Grazie mille!
Indicare se le seguenti serie convergono (semplicemente o assolutamente), divergono oppure oscillano.
1. $sum_(n = 0)^(+oo) (n/(n+1))^(n^2)$
2. $sum_(n = 0)^(+oo) 1/(ncos^2n)$
3. $sum_(n = 0)^(+oo) (nlog(1+1/n)-cos(1/sqrt(n)))$
Per la prima e seconda serie dovrei esserci.
1. Il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui può convergere la serie. Osservo che la serie è asintotica alla serie
$sum_(n = 0)^(+oo) (1-1/(n+1))^(n^2)$, raccogliendo un termine n al denominare questa serie ha lo stesso andamento di $sum_(n = 0)^(+oo) (1-1/n)^(n^2)$ che è asintotica a sua volta a $sum_(n = 0)^(+oo) 1/e^n $ che è una serie geometrica di ragione $1/e$ convergente a $e/(e-1)$.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $1/e$.
2. Il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui la serie può convergete. Osservo che è una serie a termini positivi, pertanto è asintotica alla serie $sum_(n = 0)^(+oo) 1/n $ che è una serie armonica che diverge a $+oo$. Per cui la serie di partenza diverge per confronto asintotico.
3. Per la terza ho verificato che il termine generale $a_n$ è infinitesimo, per cui può essere che converga. Ho provato a vederla come somma di due serie, ma la prima serie che ho considerato $sum_(n = 0)^(+oo) (nlog(1+1/n))$ non converge in quanto il termine generale $b_n$ non è infinitesimo. Ho provato ad applicare a tutta la serie il criterio del rapporto, ma ho come risultato $1$ il che mi porta a dire che il criterio è inconcludente. Sapreste aiutarmi? (Il risultato dice che converge assolutamente).
Grazie mille!
Risposte
Per la serie $3$ sono abbastanza convinto che tu abbia concluso: se spezzi la serie in una somma di più serie, esse devono tutte convergere affinché la serie di partenza converga; basta che una sia indeterminata o divergente per precludere la convergenza della serie iniziale.
Ho detto "abbastanza convinto" perché non vorrei che se due delle serie "spezzate" divergessero con lo stesso ordine e ci fosse una differenza tra le due allora potrebbe esserci una "compensazione" tra le due, ma non credo; di solito quei casi $\infty-\infty$ vengono classificati come indeterminatezza, ma per sicurezza su questo aspetto attendi pareri più esperti del mio.
Alternativamente, prova a sviluppare con Taylor il logaritmo ed il coseno, per poi applicare il criterio del confronto asintotico (di cui puoi verificare le ipotesi con delle disuguaglianze "classiche").
Comunque come dimostri, nella serie $2$, che è asintotica ad $\frac{1}{n}$? Sono d'accordo sul fatto che diverga, però spendici due parole in più che magari il procedimento è abusivo
Ho detto "abbastanza convinto" perché non vorrei che se due delle serie "spezzate" divergessero con lo stesso ordine e ci fosse una differenza tra le due allora potrebbe esserci una "compensazione" tra le due, ma non credo; di solito quei casi $\infty-\infty$ vengono classificati come indeterminatezza, ma per sicurezza su questo aspetto attendi pareri più esperti del mio.
Alternativamente, prova a sviluppare con Taylor il logaritmo ed il coseno, per poi applicare il criterio del confronto asintotico (di cui puoi verificare le ipotesi con delle disuguaglianze "classiche").
Comunque come dimostri, nella serie $2$, che è asintotica ad $\frac{1}{n}$? Sono d'accordo sul fatto che diverga, però spendici due parole in più che magari il procedimento è abusivo
Per dimostrare la 2 so che il $cos^2n$ ha valori compresi nell'intervallo $[0,1]$, pertanto ho che, tramite il criterio del confronto
$sum_(n=0)^(+oo) 1/(ncos^2n)>= sum_(n=0)^(+oo) 1/n$
Essendo $sum_(n=0)^(+oo) 1/n$ divergente, la serie iniziale diverge. Corretto?
Per in 3 procedo dunque così:
$sum_(n=0)^(+oo) (nlog(1+1/n)-cos(1/sqrt(n)))$
$~ sum_(n=0)^(+oo) (n(1/n-1/(2n^2) + o(1/n^2))-1 +1/(2n)-1/(24n^2) + o(1/n^2))$
$= sum_(n=0)^(+oo) 7/(24n^2)+ o(1/n^2)$
$~ sum_(n=0)^(+oo) 1/(n^2)$
Che è una serie armonica generalizzata $p=2$, con $p>1$ convergente. Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico. Giusto?
$sum_(n=0)^(+oo) 1/(ncos^2n)>= sum_(n=0)^(+oo) 1/n$
Essendo $sum_(n=0)^(+oo) 1/n$ divergente, la serie iniziale diverge. Corretto?
Per in 3 procedo dunque così:
$sum_(n=0)^(+oo) (nlog(1+1/n)-cos(1/sqrt(n)))$
$~ sum_(n=0)^(+oo) (n(1/n-1/(2n^2) + o(1/n^2))-1 +1/(2n)-1/(24n^2) + o(1/n^2))$
$= sum_(n=0)^(+oo) 7/(24n^2)+ o(1/n^2)$
$~ sum_(n=0)^(+oo) 1/(n^2)$
Che è una serie armonica generalizzata $p=2$, con $p>1$ convergente. Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico. Giusto?
Per la $2$: corretto, quindi è un confronto e non un confronto asintotico (nel primo messaggio hai scritto che è asintotica ad $\frac{1}{n}$) non c'è nessuna stima asintotica in quello che hai fatto, era quello che non mi tornava (infatti col criterio del confronto asintotico non si può concludere la divergenza di quella serie).
Per la $3$: è quasi giusto, nel senso che avresti dovuto sviluppare anche il logaritmo un ordine in più (esce fuori un termine $\frac{1}{3n^3}$ che moltiplicato per $n$ dà $\frac{1}{3n^2}$ che conta) ma per fortuna non ci sono cancellazioni; quindi sì, converge per quel motivo devi però dimostrare che $a_n$ è definitivamente non negativa.
(nel primo messaggio hai scritto che è asintotica ad $\frac{1}{n}$) non c'è nessuna stima asintotica in quello che hai fatto, era quello che non mi tornava (infatti col criterio del confronto asintotico non si può concludere la divergenza di quella serie).Per la $3$: è quasi giusto, nel senso che avresti dovuto sviluppare anche il logaritmo un ordine in più (esce fuori un termine $\frac{1}{3n^3}$ che moltiplicato per $n$ dà $\frac{1}{3n^2}$ che conta) ma per fortuna non ci sono cancellazioni; quindi sì, converge per quel motivo
devi però dimostrare che $a_n$ è definitivamente non negativa.
Sì, hai ragione, mi sono dimenticato di svilupparlo fino al terzo ordine qui sul forum, infatti la penultima riga non avrebbe senso come risultato 
.
Per dimostrare che $a_n$ sia definitivamente non negativa dovrei osservare da quali funzione è composta?
.Per dimostrare che $a_n$ sia definitivamente non negativa dovrei osservare da quali funzione è composta?
Sì, bisogna studiare $n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\cos\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 0$; basta però che sia vera definitivamente, ovvero per ogni $n \geq n_0$, con $n,n_0 \in \mathbb{N}$.
Dire semplicemente che valori del $cos(1/sqrt(n))$ sono compresi tra $[0,1]$ mentre quelli del $nlog(1+1/n)$ sono compresi tra $[ln2, 1]$ per tanto avremo che il termine $a_n$ è definitivamente non negativo per un certo $n_0$.
$lim_(n->1) nlog(1+1/n) = log(2)$
$lim_(n->1) cos(1/sqrt(n)) = cos(1)$
La loro differenza $log(2)-cos(1) >= 0$ è positiva.
$lim_(n->+oo) nlog(1+1/n) = 1$
$lim_(n->+oo) cos(1/sqrt(n)) = 1$
La loro differenza è nulla. È esaustivo? È completamente errato?
$lim_(n->1) nlog(1+1/n) = log(2)$
$lim_(n->1) cos(1/sqrt(n)) = cos(1)$
La loro differenza $log(2)-cos(1) >= 0$ è positiva.
$lim_(n->+oo) nlog(1+1/n) = 1$
$lim_(n->+oo) cos(1/sqrt(n)) = 1$
La loro differenza è nulla. È esaustivo? È completamente errato?
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