Convergenza di integrale improprio negativo
Buongiorno a tutti,
mi sto occupando di integrali impropri e c'è un punto che non mi torna e vorrei essere sicuro di sapere cosa sto facendo.
Tutti i teoremi di convergenza/divergenza di int. impropri sono per funzioni continue(ok) e positive (ok).
Ma non c'è scritto da nessuna parte che fare nel caso di integrale di funzione negativa nell'insieme di integrazione.
Per fare un esempio: $ int_(1)^(oo) dx/ {x^4+3} $ giustamente converge, perchè è continua, positiva tra 1 e infinito e sfruttando i criteri di convergenza si arriva facilmente alla soluzione.
Al contrario $ int_(1)^(oo) dx/ {x^4-3} $ è negativa tra 1 e un certo valore minore di 2. Ora questo integrale diverge (Wolfram Alpha dixit), ma non esiste (o meglio: non conosco) nessuna regola che mi permetta di affermarlo.
Dunque la domanda è: se la funzione integranda è negativa almeno in parte nel dominio di integrazione diverge sicuramente?
Sì, no, a volte...bho.
Grazie dell'aiuto.
mi sto occupando di integrali impropri e c'è un punto che non mi torna e vorrei essere sicuro di sapere cosa sto facendo.
Tutti i teoremi di convergenza/divergenza di int. impropri sono per funzioni continue(ok) e positive (ok).
Ma non c'è scritto da nessuna parte che fare nel caso di integrale di funzione negativa nell'insieme di integrazione.
Per fare un esempio: $ int_(1)^(oo) dx/ {x^4+3} $ giustamente converge, perchè è continua, positiva tra 1 e infinito e sfruttando i criteri di convergenza si arriva facilmente alla soluzione.
Al contrario $ int_(1)^(oo) dx/ {x^4-3} $ è negativa tra 1 e un certo valore minore di 2. Ora questo integrale diverge (Wolfram Alpha dixit), ma non esiste (o meglio: non conosco) nessuna regola che mi permetta di affermarlo.
Dunque la domanda è: se la funzione integranda è negativa almeno in parte nel dominio di integrazione diverge sicuramente?
Sì, no, a volte...bho.
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Il problema non è tanto il segno della funzione, positiva o negativa quano il fatto che per $x =3^(1/4) $ la funzione integranda diverge - bisogna vedere come diverge.con che "velocità".
Devi fattorizzare il denominatore e spezzare l'intervallo di integrazione $1,3^(1/4)$ e $3^(1/4), +oo$,
$x^4-3 = (x^2+sqrt(3))(x-3^(1/4))(x+3^(1/4)$
Mentre all'infinito non ci sono problemii di convergenza nell'intorno di $3^(1/4)$ sì perchè......e quindi l'integrale diverge.
Devi fattorizzare il denominatore e spezzare l'intervallo di integrazione $1,3^(1/4)$ e $3^(1/4), +oo$,
$x^4-3 = (x^2+sqrt(3))(x-3^(1/4))(x+3^(1/4)$
Mentre all'infinito non ci sono problemii di convergenza nell'intorno di $3^(1/4)$ sì perchè......e quindi l'integrale diverge.
Innanzitutto grazie della risposta che mi sembra di aver capito sia: no, il fatto che una funzione sia negativa in un intorno non comporta necessariamente la divergenza. Giusto? Sono molto confuso su questo punto in particolare.
Detto questo: credo che l'esercizio esempio prosegua accorgendosi che x^4-3 fattorizzato in quel modo può essere ricondotto alla forma notevole $ int_(a)^(b) 1/(x-a)^p dx $ con p=1 e quindi diverge. Giusto?
Detto questo: credo che l'esercizio esempio prosegua accorgendosi che x^4-3 fattorizzato in quel modo può essere ricondotto alla forma notevole $ int_(a)^(b) 1/(x-a)^p dx $ con p=1 e quindi diverge. Giusto?
In realtà quell'integrale improprio non è che diverge... È che proprio non esiste. 
Infatti, integrando esplicitamente con un po' di fratti semplici ed usando la definizione di integrale improrpio, si trova:
\[
\begin{split}
\int_1^\infty \frac{1}{x^4-3}\ \text{d} x &= \left( \lim_{r\to 0^+} \int_1^{\sqrt[4]{3} -r} + \lim_{\rho \to 0^+,R\to \infty} \int_{\sqrt[4]{3} +\rho}^R\right) \frac{1}{x^4-3}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{4\sqrt[4]{27}}\ \Bigg( \lim_{r\to 0^+} \left[ \log \left| \frac{\sqrt[4]{27}\ x+3}{\sqrt[4]{27}\ x-3}\right| +2\ \arctan \frac{x}{\sqrt[4]{3}}\right]_1^{\sqrt[4]{3} -r} \\
&\phantom{= \frac{1}{4\sqrt[4]{27}}\ \Bigg(} + \lim_{\rho\to 0^+,R\to \infty} \left[ \log \left| \frac{\sqrt[4]{27}\ x+3}{\sqrt[4]{27}\ x-3}\right| +2\ \arctan \frac{x}{\sqrt[4]{3}}\right]_{\sqrt[4]{3} +\rho}^R\Bigg)
\end{split}
\]
che è nella forma indeterminata \(\infty-\infty\); dunque l'integrale improprio non esiste.

Infatti, integrando esplicitamente con un po' di fratti semplici ed usando la definizione di integrale improrpio, si trova:
\[
\begin{split}
\int_1^\infty \frac{1}{x^4-3}\ \text{d} x &= \left( \lim_{r\to 0^+} \int_1^{\sqrt[4]{3} -r} + \lim_{\rho \to 0^+,R\to \infty} \int_{\sqrt[4]{3} +\rho}^R\right) \frac{1}{x^4-3}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{4\sqrt[4]{27}}\ \Bigg( \lim_{r\to 0^+} \left[ \log \left| \frac{\sqrt[4]{27}\ x+3}{\sqrt[4]{27}\ x-3}\right| +2\ \arctan \frac{x}{\sqrt[4]{3}}\right]_1^{\sqrt[4]{3} -r} \\
&\phantom{= \frac{1}{4\sqrt[4]{27}}\ \Bigg(} + \lim_{\rho\to 0^+,R\to \infty} \left[ \log \left| \frac{\sqrt[4]{27}\ x+3}{\sqrt[4]{27}\ x-3}\right| +2\ \arctan \frac{x}{\sqrt[4]{3}}\right]_{\sqrt[4]{3} +\rho}^R\Bigg)
\end{split}
\]
che è nella forma indeterminata \(\infty-\infty\); dunque l'integrale improprio non esiste.