Convergenza di integrale improprio irrazionale
Salve a tutti,
sto affrontando l'argomento della convergenza degli integrali impropri e mi sono imbattuto in questo integrale:
[tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
e devo trovare gli alpha tali per cui l'integrale converge.
Poichè "prima dell'infinito" (scusate l'espressione pessima) non ci sono problemi, mi sono concentrato sull'infinito e ho "splittato" l'integrale in:
A) [tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sqrt{1+x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
B) [tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{-\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
per studiare separatamente la convergenza (somma di integrali convergenti è convergente).
Studiando la funzione integranda di A:
per [tex]x \rightarrow +\infty[/tex] si ha che [tex]\frac{\sqrt{1+x}}{x}*e^{-\alpha * x} \sim \frac{\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha*x} = \frac{1}{\sqrt{x}*e^{\alpha*x}}[/tex]
che converge per [tex]\alpha > 0[/tex] strettamente maggiore, poiché se alpha è zero il denominatore rimane [tex]x^{1/2}[/tex] che all'infinito diverge (per avere convergenza all'infinito nel caso [tex]\frac{1}{x^{k}}[/tex] bisogna avere k > 1 )
Lo stesso si ha per B: infatti l'unica differenza tra A e B, segno a parte, è che c'è una costante additiva sotto radice che all'infinito è trascurabile.
Quindi sia A che B convergono per alpha maggiore strettamente di zero, e lo stesso farà l'integrale iniziale.
Però la soluzione dell'esercizio è che l'integrale converge per alpha maggiore o uguale a zero.
Che cosa sto sbagliando? Perché alpha può anche essere zero?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
sto affrontando l'argomento della convergenza degli integrali impropri e mi sono imbattuto in questo integrale:
[tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
e devo trovare gli alpha tali per cui l'integrale converge.
Poichè "prima dell'infinito" (scusate l'espressione pessima) non ci sono problemi, mi sono concentrato sull'infinito e ho "splittato" l'integrale in:
A) [tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sqrt{1+x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
B) [tex]\int_{1}^{+ \infty}{\frac{-\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha * x} dx }[/tex]
per studiare separatamente la convergenza (somma di integrali convergenti è convergente).
Studiando la funzione integranda di A:
per [tex]x \rightarrow +\infty[/tex] si ha che [tex]\frac{\sqrt{1+x}}{x}*e^{-\alpha * x} \sim \frac{\sqrt{x}}{x}*e^{-\alpha*x} = \frac{1}{\sqrt{x}*e^{\alpha*x}}[/tex]
che converge per [tex]\alpha > 0[/tex] strettamente maggiore, poiché se alpha è zero il denominatore rimane [tex]x^{1/2}[/tex] che all'infinito diverge (per avere convergenza all'infinito nel caso [tex]\frac{1}{x^{k}}[/tex] bisogna avere k > 1 )
Lo stesso si ha per B: infatti l'unica differenza tra A e B, segno a parte, è che c'è una costante additiva sotto radice che all'infinito è trascurabile.
Quindi sia A che B convergono per alpha maggiore strettamente di zero, e lo stesso farà l'integrale iniziale.
Però la soluzione dell'esercizio è che l'integrale converge per alpha maggiore o uguale a zero.
Che cosa sto sbagliando? Perché alpha può anche essere zero?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Per $alpha=0$ è vero che i casi A e B presi singolarmente divergono, ma questo non succede per A+B.
Infatti se $alpha=0$ l'esercizio diventa
$int_1^(+oo) (sqrt(x+1)-sqrtx)/x dx$, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(x+1)+sqrtx$, l'esercizio diventa
$int_1^(+oo) 1/(x(sqrt(x+1)+sqrtx)) dx <= int_1^(+oo) 1/(2x*sqrtx) dx$ che converge
Infatti se $alpha=0$ l'esercizio diventa
$int_1^(+oo) (sqrt(x+1)-sqrtx)/x dx$, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(x+1)+sqrtx$, l'esercizio diventa
$int_1^(+oo) 1/(x(sqrt(x+1)+sqrtx)) dx <= int_1^(+oo) 1/(2x*sqrtx) dx$ che converge
Grazie melia, sempre gentile.
Ho capito, quindi in questi casi meglio non dividere l'integrale. Ma allora come avrei potuto fare?
Il nostro professore ha scritto nella risoluzione:
"Applicando il criterio del confronto asintotico si ottiene che [tex]f_{\alpha}(x) \sim \frac{1}{2*x^{3/2}}*e^{-\alpha*x}[/tex] "
Da qui si capisce che alpha può essere anche uguale a zero, ma non capisco come sia arrivato a quell'espressione partendo dalle radici (e infatti ho tentato nel modo sbagliato).
Come posso arrivare a quel risultato?
Ho capito, quindi in questi casi meglio non dividere l'integrale. Ma allora come avrei potuto fare?
Il nostro professore ha scritto nella risoluzione:
"Applicando il criterio del confronto asintotico si ottiene che [tex]f_{\alpha}(x) \sim \frac{1}{2*x^{3/2}}*e^{-\alpha*x}[/tex] "
Da qui si capisce che alpha può essere anche uguale a zero, ma non capisco come sia arrivato a quell'espressione partendo dalle radici (e infatti ho tentato nel modo sbagliato).
Come posso arrivare a quel risultato?
A numeratore tra le due radici c'è una differenza, quindi "una forma $+oo-oo$ da modificare, e il modo più semplice è quello di moltiplicare per la somma delle radici, ottenendo la differenza dei quadrati e sommando.
Grazie mille!
"ciurlo95":
(somma di integrali convergenti è convergente)
Questo non ti autorizza a fare la separazione degli integrali, sia perché non sai se la somma è convergente, sia perché non sai se i due addendi ottenuti sono convergenti. Infatti puoi ottenere effetti strani come quello evidenziato da @melia.
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