Convergenza di integrale
Per quali a>0 converge l'integrale da 0 a +inf di log((x^a+5)/(x^a+4))
Risposte
ciao e ben venuto/a; dovresti anzitutto imparare ad usare le formule, ma sopratutto almeno postare un tentativo di soluzione
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\ln\left(\frac{x^a+5}{x^a+4}\right)\,\,dx
\end{align}
dove ti blocchi?
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\ln\left(\frac{x^a+5}{x^a+4}\right)\,\,dx
\end{align}
dove ti blocchi?
grazie per la risposta rapida, concedimi intanto di non usare le formule, devo ancora leggere come si fa:
ho pensato di spezzare l'integrale da 0 a 1 e poi da 1 a +inf, per la parte da 1 a +inf l'integrale converge sse converge la serie di n da 1 a +inf di log((n^a+5)/(n^a+4)) . Per questa serie uso il criterio della radice: lim n-->+inf (log((n^a+5)/(n^a+4)))^(1/n) =0 < 1 e quindi la serie è convergente. Rimane il pezzo da 0 a 1 che nn so come fare.
ho pensato di spezzare l'integrale da 0 a 1 e poi da 1 a +inf, per la parte da 1 a +inf l'integrale converge sse converge la serie di n da 1 a +inf di log((n^a+5)/(n^a+4)) . Per questa serie uso il criterio della radice: lim n-->+inf (log((n^a+5)/(n^a+4)))^(1/n) =0 < 1 e quindi la serie è convergente. Rimane il pezzo da 0 a 1 che nn so come fare.
ma in $0$ quella funzione non ha problemi, è continua
ho parzialmente imparato:
\[ \int_0^1 log \frac{n^a+5}{n^a+4}dn\ + \int_1^\infty log\frac{n^a+5}{n^a+4}dn\ \]
infty è infinito senza segno, ma +infinito e -infinito come li indico?
Quindi come ho argomentato è sufficiente? In che altro modo avrei potuto risolvere questo esercizio?
\[ \int_0^1 log \frac{n^a+5}{n^a+4}dn\ + \int_1^\infty log\frac{n^a+5}{n^a+4}dn\ \]
infty è infinito senza segno, ma +infinito e -infinito come li indico?
Quindi come ho argomentato è sufficiente? In che altro modo avrei potuto risolvere questo esercizio?
se ill problema è il primo integrale, basta osservare che nell'intervallo $[0.1]$ la funzione è continua e dunque sicuramente integrabile
Ok, e per la seconda parte il mio moda va bene? Cioè posso utilizzare nel modo in cui l'ho utilizzato il criterio della serie?
E, in che altro modo posso risolvere questo esercizio?
E, in che altro modo posso risolvere questo esercizio?
ma le serie non le tirerei in ballo; basta considerare che la funzione è sempre positiva nell'intervallo di integrazione, e dunque per confronto asintotico hai che quando $x\to+\infty$
\begin{align} \ln\left(\frac{x^a+5}{x^a+4}\right) \sim \frac{x^a+5}{x^a+4}-1= \frac{1}{x^a+4} \sim \frac{1}{x^a } \mbox{converge se }\,\,\,a>1\end{align}
\begin{align} \ln\left(\frac{x^a+5}{x^a+4}\right) \sim \frac{x^a+5}{x^a+4}-1= \frac{1}{x^a+4} \sim \frac{1}{x^a } \mbox{converge se }\,\,\,a>1\end{align}
Posso applicare il confronto asintotico anche a questo integrale:
\[ \int_1^\infty \frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)}dy\ \]
per x--->+inf \[\frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)} \sim \frac{y^2}{(y^a)*y^3} \sim \frac{1}{y^{a+1}} \]
e se l'integrale è tra 0 e +inf? In 0 la funzione non è continua. Come faccio?
\[ \int_1^\infty \frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)}dy\ \]
per x--->+inf \[\frac{y^2+1}{(y^a)*(y^3+y+1)} \sim \frac{y^2}{(y^a)*y^3} \sim \frac{1}{y^{a+1}} \]
e se l'integrale è tra 0 e +inf? In 0 la funzione non è continua. Come faccio?
Mi sbaglio o fai la stessa domanda qui?
Porre la stessa domanda in due luoghi diversi è inutile e dannoso perchè così si disperdono le risposte.
Porre la stessa domanda in due luoghi diversi è inutile e dannoso perchè così si disperdono le risposte.
scusa non ho visto .... altrimenti segnallavo e rispondevo qui 
No problem noise, direi di chiudere questo e proseguire l'altro. Vorrei però assicurarmi che serafila abbia inteso la ragione del mio intervento.
Si, perchè in questo post stavo chiedendo di un integrale, e poi cambiando integrale ho pensato di aprire un'altra domanda. E' meglio se continuo a parlarne qui o se continuo sul nuovo post?
Nel nuovo post, come stai già facendo. Qui chiudo.
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