Convergenza di funzione (1)
Ciao!
Nel seguente esercizio sono indeciso se dare la risposta $c$ o $b$:
Il limite: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0 $ dunque possiamo affermare che $f_n$ converge puntualmente a 0 in tutto il suo dominio.
Se calcolo: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$ e $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$
Dunque vado alla ricerca del massimo della funzione: $f_n'(x)=0 \Rightarrow nx^{n-1} \* ( -x^{2n}+3 ) > 0$
Quindi possiamo affermare: $x^{n-1} > 0$ e $x< 3^{\frac{1}{2n}}$
La $f_n$ nel massimo vale dunque: $f_n(3^{\frac{1}{2n}}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
In conclusione per $n \to \infty$ il massimo di $f_n$ si sposta in 1, e quindi qui è presente una discontinuità che ci permette di escludere sicuramente le risposte $a$ e $d$. Ma qual è la risposta corretta tra la $b$ e la $c$?
Grazie per l'aiuto!
Nel seguente esercizio sono indeciso se dare la risposta $c$ o $b$:
Il limite: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0 $ dunque possiamo affermare che $f_n$ converge puntualmente a 0 in tutto il suo dominio.
Se calcolo: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$ e $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$
Dunque vado alla ricerca del massimo della funzione: $f_n'(x)=0 \Rightarrow nx^{n-1} \* ( -x^{2n}+3 ) > 0$
Quindi possiamo affermare: $x^{n-1} > 0$ e $x< 3^{\frac{1}{2n}}$
La $f_n$ nel massimo vale dunque: $f_n(3^{\frac{1}{2n}}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
In conclusione per $n \to \infty$ il massimo di $f_n$ si sposta in 1, e quindi qui è presente una discontinuità che ci permette di escludere sicuramente le risposte $a$ e $d$. Ma qual è la risposta corretta tra la $b$ e la $c$?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Il limite puntuale è sempre $0$? Sei sicuro?
Secondo i miei calcoli si.
Per dire che una funzione ($f_n$ ad esempio) converge puntualmente non bisogna verificare che il suo limite $\lim_{n \to \infty} f_n $ sia un numero finito?
Per dire che una funzione ($f_n$ ad esempio) converge puntualmente non bisogna verificare che il suo limite $\lim_{n \to \infty} f_n $ sia un numero finito?
Si ma questo numero non è sempre $0$. Guarda meglio. Pure le risposte ti suggeriscono che qualcosa potrebbe andare storto in un certo punto.
Ok quando valuto la convergenza puntuale ho diviso lo studio della funzione per $x >1$ e $ 0< x < 1$. In questi due intervalli il limite $\lim_{n \to + \infty} f_n = 0 $. Solo che effettivamente ho tralasciato di valutare cosa accade in $1$. E si può vedere che se $x =1 \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} f_n = \frac{1}{4} $, quindi in questo punto è presente una discontinuità.
Ok ma la domanda che pongo è: devo dare la risposta che esclude solo il punto $1$ (risposta $c$) o quella che esclude anche un suo intorno (risposta $b$)?
Ok ma la domanda che pongo è: devo dare la risposta che esclude solo il punto $1$ (risposta $c$) o quella che esclude anche un suo intorno (risposta $b$)?
Devi togliere un intero intorno del punto problematico, in quanto se la funzione convergesse uniformemente in $[0,1) uu (1,+infty)$ dovrebbe convergere uniformemente su tutto l'asse reale positivo, poichè un teorema ci dice che una successione di funzioni converge uniformemente in un insieme $D$ $\Leftrightarrow$ converge puntualmente in $D$ e uniformemente in $D - {x_0} AAx_0 in D$, cosa che qui evidentemente non accade per $x_0 = 1$
@lukath: sono d'accordo con la tua conclusione. Per il ragionamento, invece di citare "un teorema", Io direi che occorre togliere un intorno per un motivo piu' semplice. Infatti, siccome tutte le funzioni $f_n$ sono continue, uno ha che
\[
\sup( |f_n(x)|\ :\ x\ge 0,\ x\ne 1 ) = \sup( |f_n(x)|\ :\ x\ge 0 ).
\]
E quindi togliere solo un punto non cambia nulla in termini di convergenza uniforme. Immagino che questo sia sostanzialmente il contenuto del teorema che citi, ma siccome è una cosa semplice, meglio farsela "a mano" volta pere volta invece di ricordare teoremi che poi si dimenticano sempre sul più bello.
\[
\sup( |f_n(x)|\ :\ x\ge 0,\ x\ne 1 ) = \sup( |f_n(x)|\ :\ x\ge 0 ).
\]
E quindi togliere solo un punto non cambia nulla in termini di convergenza uniforme. Immagino che questo sia sostanzialmente il contenuto del teorema che citi, ma siccome è una cosa semplice, meglio farsela "a mano" volta pere volta invece di ricordare teoremi che poi si dimenticano sempre sul più bello.
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