Convergenza di estratte

[Kroldar]

Sappiamo che in $RR^k$ euclideo, ogni successione limitata ha estratta convergente.
Mi chiedo: come si può generalizzare questo risultato? Che proprietà deve avere uno spazio affinché ogni successione limitata ammetta estratta convergente? In un generico spazio di Hilbert, ad esempio, vale questa proprietà?

Nota: come convergenza intendo la convergenza forte, ovvero la convergenza in norma; discorsi sulla convergenza debole esulano dalla mia domanda.

[Fioravante Patrone1]

No.
Classico esempio in $l^2$ è dato dalla successione $e_n$

$e_n$ è l'elemento di $l^2$ (ovvero, una successione di numeri reali) così definito: tutti gli elementi della successione sono $0$ tranne l'n-esimo che vale $1$.

La norma di ogni $e_n$ vale $1$, e quindi la successione è limitata.
Ma non ha nessuna sottosuccessione estratta convergente (in norma; mentre è debolmente convergente alla successione identicamente nulla).

[dissonance]

"Kroldar":Che proprietà deve avere uno spazio affinché ogni successione limitata ammetta estratta convergente?

Deve essere di dimensione finita. Infatti quanto dici equivale a dire che ogni insieme limitato è relativamente compatto (ha la chiusura compatta). Più semplicemente questo equivale a richiedere che la sfera unitaria (${x\ :\ ||x||<1}$) sia relativamente compatta. E qui interviene il teorema di Riesz sulla dimensione: uno spazio di Banach ha dimensione finita se e solo se la sfera unitaria è relativamente compatta.

[Kroldar]

Vi ringrazio per le risposte!