Convergenza di due serie oscillanti

[Chupitopo]

Devo studiare la convergenza di questa serie:
$\sum_{k=1}^\infty\ (-1)^k cos(1/k)$
E' giusto considerare che $cos(1/k) ~ 1-1/(2k^2)$?
Se così fosse, applicando il criterio di Leibniz la serie non converge perchè $1/(2k^2)$ non tende a 0?

Per quanto riguarda invece quest'altra serie:
$\sum_{k=1}^\infty\ (-1)^k log(1+1/k)$
Direi che $log(1+1/k) ~ 1/k$
e la serie converge sempre per Leibniz perchè
$1/k>0$
$1/k$ tende a 0
e $1/(k+1)<1/k$

Sono giusti i miei procedimenti?

[gugo82]

No, non sono giusti.

Per applicare Leibniz devi usare la successione degli addendi così com'è, non puoi passare ad una successione asintoticamente equivalente.

E, per quanto riguarda il primo esercizio, evocare il criterio di Leibniz non serve; infatti la tua prima serie non converge perchè ha la successione degli addendi non infinitesima.

[antani2]

Nella seconda invece è comunque giusto applicare Leibniz perchè $1+1/k$ è una successione strettamente decrescende per k>0 e poichè il logaritmo è una funzione strettamente crescente mantiene la relazione d'ordine e quindi $log(1+1/k)$ è strettamente decrescente per k>0 e quindi tramite Leibniz puoi dire che la serie converge e sapere anche il segno della serie...