Convergenza dell'integrale (con $alpha$ e $beta$ )

[frenky46]

Determinare per quali valori di $alpha$ e $beta$ $in R$ il seguente integrale converge :

$int_0^1(e^(3x)-1)/(5(x^(alpha)))*((sen(x^2)-sen^2(x))/x^(beta))*dx$

io ho fatto i seguenti calcoli :

$e^(3x):=1+3x$

$senx^2:=x^2-x^4/4$

$sen^2(x):=x^2-x^4/3$

quindi l'integrale diventa :

$int_0^1(3x)/(5(x^(alpha)))*(x^4/12*1/x^beta)*dx$ $=$

$=$ $1/20*int_0^1(1/x^(alpha+beta-5))*dx$

e ora se considero la serie armonica generallizzata avrei la convergenza per $alpha>6-beta$

Corretto ?

[walter891]

il procedimento credo sia corretto ma c'è qualcosa che non va con gli sviluppi delle funzioni goniometriche

[faximusy]

"frenky46":

e ora se considero la serie armonica generallizzata avrei la convergenza per $alpha>6-beta$

Corretto ?

Io mi trovo questo valore asintotico:

$\int^1_0 3x/5 x^\alpha x^4/6 x^(-\beta)$

cioè, a meno dei valori numerici che non servono a niente:

$\int^1_0 x^(1+\alpha+4-\beta)$

che converge per $(1+\alpha+4-\beta) > -1 $ (forse hai considerato $> 1$ ? )

Quindi a me viene: $\alpha >\beta -6 $

[frenky46]

"faximusy":
Io mi trovo questo valore asintotico:

$\int_0^1( 3x/5 x^\alpha x^4/6 x^(-\beta))$

cioè, a meno dei valori numerici che non servono a niente:

$\int_0^1 x^(1+\alpha+4-\beta)$

che converge per $(1+\alpha+4-\beta) > -1 $ (forse hai considerato $> 1$ ? )

Quindi a me viene: $\alpha >\beta -6 $

perchè ti esce $(3x)/5*x^(alpha)$ e non $(3x)/5*x^-(alpha)$ ?

perchè $x^4/6$ e non $x^4/12$ ?

[faximusy]

Nella formula $x^\alpha$ è al numeratore, quindi è aggiunto con valore positivo agli esponenti della $x$

$x^4/12$ non ho capito da dove lo hai ricavato, però che sia $4$, $12$ o $100000$, non cambia nulla (contano solo gli esponenti)

[frenky46]

"faximusy":Nella formula $x^\alpha$ è al numeratore, quindi è aggiunto con valore positivo agli esponenti della $x$

$x^4/12$ non ho capito da dove lo hai ricavato, però che sia $4$, $12$ o $100000$, non cambia nulla (contano solo gli esponenti)

Hai ragione scusa ho commesso un errore nello scrivere la traccia, cmq la $x^(alpha)$ è al denominatore.

Si si lo so che qualsiasi numero non mi cambia nulla però è per essere precisi,

io ricavo $x^4/12$ dalla sottrazione $sen(x^2)-sen^2(x)$ che sostituisco con $x^2-x^4/3-x^2+x^4/4$ e quindi $X^4/12$

[faximusy]

Di uno dei due seni basta solo il primo termine, che tanto verrà eliminato dall'altro.

In teoria non si sommano, perchè appunto non è rilevante.


Comunque se è al denominatore, allora va bene il segno meno, ovviamente

[frenky46]

ok grazie mille per le spiegazioni