Convergenza delle serie
Ragazzi $\sum_{n=1}^\infty n/(n+1) (x/2)^n, \sum_{n=1}^\infty x^n/(n2^n)$, bisogna determinare il raggio di convergenza,
nnso nemmeno da che parte cominciare cioè so che devo fare il limite, ma nn lo so fare, poi l'esercizio dice di calcolare la convergenza agli estremi dell'intervallo, a me è uscito per la prima srrie 1/4 quando n=1, mentre per la seconda 1/2 sempre quando la n=1, ma sicuro ho sbagliato tutto.
Poi c'è questo data la successione di funzioni $f_n(x)=(1+senx)^n, x\in[0,2pi]$, determinare il suo insieme di convergenza I e la sua funzione limite; stabilire inoltre se in I la convergenza è uniforme. Io so dire solo che quando la $x=0$ e $2pi f_n(x)$ converge a $1/2$, ma non so se per ogni $n$, mentre per gli altri valori dellaq $x$ non so quanto vale.Poi chiede se la convergenza è uniforme e non mi viene anche perchè non so la funzione limite.
Pi se ho una successione di funzioni $f_n(x)=(1+nx)/(1+n^2+x^2) x\inRR$ Questa conevrege a $1$ per $x=0$, mentre a $0$ per $x=0$. Poi l'esercizio dice si noti che $Vn\inN$, $f_n(x)$ è continua in R, mentre $f(x)$ presenta una discontinuità in $x=0$, cioè scusate ma la discontinuità è quando $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi
$lim_(x->0)1!=0$ è coìsì o ho sbagliato anche questo?
Ragazzi datemi una mano, nn le capisco ste cose nn so davvero come fare
Grazie
[mod="Tipper"]Sistemato il MathML.[/mod]
nnso nemmeno da che parte cominciare cioè so che devo fare il limite, ma nn lo so fare, poi l'esercizio dice di calcolare la convergenza agli estremi dell'intervallo, a me è uscito per la prima srrie 1/4 quando n=1, mentre per la seconda 1/2 sempre quando la n=1, ma sicuro ho sbagliato tutto.
Poi c'è questo data la successione di funzioni $f_n(x)=(1+senx)^n, x\in[0,2pi]$, determinare il suo insieme di convergenza I e la sua funzione limite; stabilire inoltre se in I la convergenza è uniforme. Io so dire solo che quando la $x=0$ e $2pi f_n(x)$ converge a $1/2$, ma non so se per ogni $n$, mentre per gli altri valori dellaq $x$ non so quanto vale.Poi chiede se la convergenza è uniforme e non mi viene anche perchè non so la funzione limite.
Pi se ho una successione di funzioni $f_n(x)=(1+nx)/(1+n^2+x^2) x\inRR$ Questa conevrege a $1$ per $x=0$, mentre a $0$ per $x=0$. Poi l'esercizio dice si noti che $Vn\inN$, $f_n(x)$ è continua in R, mentre $f(x)$ presenta una discontinuità in $x=0$, cioè scusate ma la discontinuità è quando $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, quindi
$lim_(x->0)1!=0$ è coìsì o ho sbagliato anche questo?
Ragazzi datemi una mano, nn le capisco ste cose nn so davvero come fare
Grazie
[mod="Tipper"]Sistemato il MathML.[/mod]
Risposte
Innanzitutto come condizione necessaria (ma non sufficente) affinchè le serie convergano hai che il limite del termine generale della serie sia uguale a 0, quindi puoi iniziare a vedere per quali valore di x i limiti vanno a 0.
Riscrivo entrambe come:
$\sum_{n=1}^infty (C_n)*(x/2)^n $
la serie converge $iff$ $|x/2|<1/(lim_(n->infty)((|C_(n+1)|)/(|C_n|)$
Da verificare il caso $|x/2|=1/(lim_(n->infty)((|C_(n+1)|)/(|C_n|)$ ,in quanto potrebbe convergere o no.
SPero di aver scritto bene le formule
$\sum_{n=1}^infty (C_n)*(x/2)^n $
la serie converge $iff$ $|x/2|<1/(lim_(n->infty)((|C_(n+1)|)/(|C_n|)$
Da verificare il caso $|x/2|=1/(lim_(n->infty)((|C_(n+1)|)/(|C_n|)$ ,in quanto potrebbe convergere o no.
SPero di aver scritto bene le formule
la prima serie di potenze il problema è che non c'è $x^n$ semplice ma c'è $(x/2)^n$ e quindi ho difficoltà ad applicare il teorema d'alembert scusate quello dice $l=lim_n|a_n+1|/|a_n|$, quindi dovrebbe venire $[n+1)/(n+2) * (n+1)/n$ ma nn credo di fare bene forse devo includere nell'$a_n$ anche quel $1/2$ della $x$. Vorrei solo che mi aiutasse a capire questo perkè riesco a trovarli quelli con $x^n$ semplicesia con d'alembert che con cauchy.
aalora ho le seguenti serie di potenze $\sum_{n=1}^\infty\x^n/n$ il libro dice che converge per $x=-1$ e mi trovo che tende a 0, ma perchè non converge per $x=1$? Poi se ho $x^n/n^2$ dice invedce che converge per x=-1 e ok ma perchè converge anche per x=1?
Mi potreste spiegare perchè tutto questo?
Grazie ragazzi
Mi potreste spiegare perchè tutto questo?
Grazie ragazzi
non so se è giusto il ragionamento ci provo:
la prima serie per $x=1$ diventa:
$\sum 1/n$ cioè la serie armonica (che dovrebbe divergere
salvo imprevisti)
per $x= -1$ la serie risulterà:
$\sum (-1)^n/n$
serie a segni alterni e dato che $ n + 1 > n $ risulterà $ 1/n > 1/(n+1) $
e quindi per Leibniz converge.
Per la seconda serie:
questa converge anche per $x=1$ perchè risulterebbe
$\sum 1/n^2 $ cioè una serie armonica generalizzata che avendo
un esponente maggiore di 1 converge.
Perdonate eventuali errori.
la prima serie per $x=1$ diventa:
$\sum 1/n$ cioè la serie armonica (che dovrebbe divergere
salvo imprevisti)
per $x= -1$ la serie risulterà:
$\sum (-1)^n/n$
serie a segni alterni e dato che $ n + 1 > n $ risulterà $ 1/n > 1/(n+1) $
e quindi per Leibniz converge.
Per la seconda serie:
questa converge anche per $x=1$ perchè risulterebbe
$\sum 1/n^2 $ cioè una serie armonica generalizzata che avendo
un esponente maggiore di 1 converge.
Perdonate eventuali errori.
ragà però il vero prob rimangono quelle due serie di potenze(analisi II) che purtroppo avendo x/2 e non semplice x non riesco a farle:
Mi aiutae voi...
Grazie
Mi aiutae voi...
Grazie
allora io farei così:
alla prima serie poni y=x/2 a questo punto hai una serie in cui compare solo la y e non più x/2
puoi applicare d'alambert così come stavi facendo
se non ho sbagliato i conti il limite viene l=1
quindi il raggio di convergenza è 1 però noi avevamo x/2 quindi devi riportare tutto alla serie di partenza
quindi -1
non so se sono stata chiara (onestamente nn so come fare i simboli matematici)
alla prima serie poni y=x/2 a questo punto hai una serie in cui compare solo la y e non più x/2
puoi applicare d'alambert così come stavi facendo
se non ho sbagliato i conti il limite viene l=1
quindi il raggio di convergenza è 1 però noi avevamo x/2 quindi devi riportare tutto alla serie di partenza
quindi -1
non so se sono stata chiara (onestamente nn so come fare i simboli matematici)
allora, devi provare ad usare i criteri del rapporto o della ardice..prendi la tua serie, applichi uno di questi criteri..io ti consiglierei il criterio della radice..però ricorda che il valore di x che trovi deve essere <1 per convergere.. infatti nel momento in cui esso è maggiore di 1 diverge..per x=1 devi verificare perchè il criterio non ti dice nulla..basta usare la definizione di serie geometrica
grazie sei una grande bella la trovata y=x/2
vedete se vanno bene:
per r=2
$\sum_{n=1}^\infty\ n/(n+1)$ con il teorema di abel mi riconduco alla serie numerica
e quindi $n/(n+1)=1$ Quindi la serie converge cmq a 1
Il problema è per x=-2
perchè verrebbe:
$\sum_{n=1}^\infty\ n/(n+1) (-1)^n,$ secondo meè una serie alternata... però non saprei dire altro.
Aspetto un vostro ulteriore aiuto.
Thanks.
per r=2
$\sum_{n=1}^\infty\ n/(n+1)$ con il teorema di abel mi riconduco alla serie numerica
e quindi $n/(n+1)=1$ Quindi la serie converge cmq a 1
Il problema è per x=-2
perchè verrebbe:
$\sum_{n=1}^\infty\ n/(n+1) (-1)^n,$ secondo meè una serie alternata... però non saprei dire altro.
Aspetto un vostro ulteriore aiuto.
Thanks.
eh no..il limite deve dare 0! ricorda il lemma circa le serie numeriche! quindi diverge..infatti sarebbe $\sum_{n=1}^\infty\ 1 - 1/(n+1)$ e vedi che la serie già ad occhio non converge..per quella a segno alterno vale lo stesso..ricorda il criterio di lebniz sulle serie alterne
anzi,se calcoli la derivata prima vedi che è sempre crescente!
cioè mi spiego: per x-2:
$n/(n+1) (-1)^n => (-n)^n/(n+1)$, quindi sia per n pari che dispari il termine al numeratore avrebbe esponente maggiore al numeratore quindi andrebbe cmq a $+infty$.
DItemi voi .... seconde me ho sbagliato...
$n/(n+1) (-1)^n => (-n)^n/(n+1)$, quindi sia per n pari che dispari il termine al numeratore avrebbe esponente maggiore al numeratore quindi andrebbe cmq a $+infty$.
DItemi voi .... seconde me ho sbagliato...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo