Convergenza della serie di Fourier?

[megaflare]

Come posso capire dal grafico di una funzione se la sua serie di Fourier converge uniformemente e/o puntualmente? Quali sono le differenze tra convergenza puntuale e uniforme di una serie di Fourier?

[gugo82]

"megaflare":Come posso capire dal grafico di una funzione se la sua serie di Fourier converge uniformemente e/o puntualmente? Quali sono le differenze tra convergenza puntuale e uniforme di una serie di Fourier?

Se la funzione è continua con la sua derivata prima (ossia se il grafico della funzione non ha punti angolosi o cuspidali) e negli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore, allora la convergenza della serie di Fourier è uniforme.

La convergenza puntuale della serie di Fourier relativa ad una funzione è assicurata in ipotesi molto più larghe (dette condizioni di Dirichlet), ossia nell'ipotesi che la tua funzione abbia un numero finito di punti di discontinuità tutti di prima secie e lo stesso accada con la sua derivata prima (insomma, se il grafico della tua funzione presenta dei salti o dei punti angolosi, ma non cuspidali).

Le differenze tra i due tipi di convergenza sono per lo più le stesse di sempre: ad esempio, le serie di Fourier uniformemente convergenti possono essere derivate ed integrate termine a termine, le serie solo puntualmente convergenti in generale no...
Una distinzione importante è che se la serie di Fourier relativa ad una funzione $f$ converge uniformemente, allora la $f$ coincide ovunque con la somma della "sua" serie di Fourier; ciò invece non accade se la serie di Fourier relativa ad $f$ converge solo puntualmente.

Detto quanto so, lascio la palla a chi è più esperto di me, sperando di essere stato comunque di aiuto.