Convergenza della serie : .....
Ho svolto quest'esercizio sulle serie che dice : Utilizzando un criterio, dire se la seguente serie converge.
La serie è : $sum_{n=1}^\infty 1 / (1 + sqrt(n)) $
Allora io ho deciso di risolverla con il criterio del confronto cercando di trovare una maggiorante che converga in modo da dimostrare, di conseguenza, che la serie di partenza converge.
Ho scelto questa disuguaglianza : $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$
di conseguenza trasformo $1/sqrt(n)$ in $1/((n)^(1/2))$ che rappresenta la serie armonica con $\alpha <= 1$ e quindi Divergente.
Il teorema però dice che se la maggiorante è convergente allora la minorante è convergente, ma non il contrario.
Cosa posso dire riguardo la serie di partenza dopo queste considerazioni ??????
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Ho trasformato la disuguaglianza $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$ in $1+sqrt(n) > sqrt(n)$
in modo da poter dimostrare la divergenza della maggiorante data la divergenza della minorante.
Infatti applicando il criterio degli infinitesimi alla serie $sum_{n=1}^\infty sqrt(n)$ ho dimostrato che diverge ed essendo la minorante, dimostro di conseguenza che la maggiorante diverge..
Sono corrette le mie considerazioni ???
La serie è : $sum_{n=1}^\infty 1 / (1 + sqrt(n)) $
Allora io ho deciso di risolverla con il criterio del confronto cercando di trovare una maggiorante che converga in modo da dimostrare, di conseguenza, che la serie di partenza converge.
Ho scelto questa disuguaglianza : $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$
di conseguenza trasformo $1/sqrt(n)$ in $1/((n)^(1/2))$ che rappresenta la serie armonica con $\alpha <= 1$ e quindi Divergente.
Il teorema però dice che se la maggiorante è convergente allora la minorante è convergente, ma non il contrario.
Cosa posso dire riguardo la serie di partenza dopo queste considerazioni ??????
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Ho trasformato la disuguaglianza $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$ in $1+sqrt(n) > sqrt(n)$
in modo da poter dimostrare la divergenza della maggiorante data la divergenza della minorante.
Infatti applicando il criterio degli infinitesimi alla serie $sum_{n=1}^\infty sqrt(n)$ ho dimostrato che diverge ed essendo la minorante, dimostro di conseguenza che la maggiorante diverge..
Sono corrette le mie considerazioni ???
Risposte
"Matematico":
Ho svolto quest'esercizio sulle serie che dice : Utilizzando un criterio, dire se la seguente serie converge.
La serie è : $sum_{n=1}^\infty 1 / (1 + sqrt(n)) $
Allora io ho deciso di risolverla con il criterio del confronto cercando di trovare una maggiorante che converga in modo da dimostrare, di conseguenza, che la serie di partenza converge.
Ho scelto questa disuguaglianza : $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$
di conseguenza trasformo $1/sqrt(n)$ in $1/((n)^(1/2))$ che rappresenta la serie armonica con $\alpha <= 1$ e quindi Divergente.
Il teorema però dice che se la maggiorante è convergente allora la minorante è convergente, ma non il contrario.
Cosa posso dire riguardo la serie di partenza dopo queste considerazioni ??????
Non puoi dire nulla, perchè hai scelto la disuguaglianza sbagliata da cui partire...
Perchè non provi a partire da $sqrtn le n$? Oppure da $1le sqrtn$?
Portano a due strade diverse, ma il risultato è lo stesso.
"Matematico":
Ho trasformato la disuguaglianza $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$ in $1+sqrt(n) > sqrt(n)$
in modo da poter dimostrare la divergenza della maggiorante data la divergenza della minorante.
Infatti applicando il criterio degli infinitesimi alla serie $sum_{n=1}^\infty sqrt(n)$ ho dimostrato che diverge ed essendo la minorante, dimostro di conseguenza che la maggiorante diverge..
Sono corrette le mie considerazioni ???
Ho fatto altre condiderazioni, ti sembrano corrette ?
"Matematico":
[quote="Matematico"]
Ho trasformato la disuguaglianza $1 / (1 + sqrt(n)) < 1/sqrt(n)$ in $1+sqrt(n) > sqrt(n)$
in modo da poter dimostrare la divergenza della maggiorante data la divergenza della minorante.
Infatti applicando il criterio degli infinitesimi alla serie $sum_{n=1}^\infty sqrt(n)$ ho dimostrato che diverge ed essendo la minorante, dimostro di conseguenza che la maggiorante diverge..
Sono corrette le mie considerazioni ???
Ho fatto altre condiderazioni, ti sembrano corrette ?[/quote]
Non capisco dove vai a parare.
Vuoi applicare un "criterio degli infinitesimi" ad una serie i cui addendi infinitesimi non sono...
Poi, scusa, ma dove sta scritto che se $\sum 1/a_n$ diverge pure $\sum a_n$ diverge? Basti un controesempio: $\sum n^2$ diverge, ma $\sum 1/n^2$ è molto convergente.
Prova le maggiorazioni che ti ho indicato, non pensare complicato.
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