Convergenza della serie
Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^infty \frac{\cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n}$
Posso semplicemente dire che $\frac{\cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} \~ \frac{1}{n}$
(essendo $\cos(n)\~n$ e $e^n\~1$)
e quindi la serie diverge per il criterio del confronto asintotico?
Posso semplicemente dire che $\frac{\cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} \~ \frac{1}{n}$
(essendo $\cos(n)\~n$ e $e^n\~1$)
e quindi la serie diverge per il criterio del confronto asintotico?
Risposte
$\cos n \approx n$? $e^n \approx 1$?
Certo, ma col cavolo che $cos n approx n$ ed $e^n approx 1$!
Ciao JackedTux,
In effetti la serie proposta diverge, ma non certo per ciò che
In particolare, prima di applicare il criterio del confronto asintotico avrei osservato che si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n e^n}{n^2e^n+e^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2+1} $
L'ultima serie scritta si comporta come la serie armonica e pertanto è positivamente divergente, sicché tale è anche la serie proposta.
"JackedTux":
quindi la serie diverge per il criterio del confronto asintotico
In effetti la serie proposta diverge, ma non certo per ciò che
"JackedTux":
(essendo $cos(n)~n$ e $e^n~1$)
In particolare, prima di applicare il criterio del confronto asintotico avrei osservato che si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n e^n}{n^2e^n+e^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2+1} $
L'ultima serie scritta si comporta come la serie armonica e pertanto è positivamente divergente, sicché tale è anche la serie proposta.
Si può anche concludere senza confronto asintotico sulla scia della soluzione di pilloeffe, notando ulteriormente che $n^2+1 \le 2n^2$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus{0}$.
Scusate, ogni tanto scrivo cose senza ragionare. Sarà stata la stanchezza.
[tex]\cos(x)\sim 1[/tex] ma per [tex]x\to0[/tex]
[tex]e^x\sim1[/tex] ma sempre per [tex]x\to0[/tex]
Pensa che ci avevo pure pensato ad usare il criterio del confronto, ma lo feci male, anzi malissimo.
La prossima volta invece che postare da stanco, aspetterò di ragionarci meglio il giorno dopo!
cioè mostrando che non vale la condizione di Cauchy?
Apposto così comunque,
Grazie a tutti..
[tex]\cos(x)\sim 1[/tex] ma per [tex]x\to0[/tex]
[tex]e^x\sim1[/tex] ma sempre per [tex]x\to0[/tex]
"pilloeffe":
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n e^n}{n^2e^n+e^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2+1} $
Pensa che ci avevo pure pensato ad usare il criterio del confronto, ma lo feci male, anzi malissimo.
La prossima volta invece che postare da stanco, aspetterò di ragionarci meglio il giorno dopo!
"Mephlip":
Si può anche concludere senza confronto asintotico sulla scia della soluzione di pilloeffe, notando ulteriormente che $ n^2+1 \le 2n^2 $ per ogni $ n\in\mathbb{N}\setminus{0} $.
cioè mostrando che non vale la condizione di Cauchy?
Apposto così comunque,
Grazie a tutti..
Prego!
No, ho scritto: "Sulla scia della soluzione di pilloeffe". Usando la maggiorazione di pilloeffe prima e poi la disuguaglianza $n^2+1 \le 2n^2$ valida per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, ottieni:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n+5+n e^n}{n^2 e^n+e^n}>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1} \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=+\infty$$
"JackedTux":
cioè mostrando che non vale la condizione di Cauchy?
No, ho scritto: "Sulla scia della soluzione di pilloeffe". Usando la maggiorazione di pilloeffe prima e poi la disuguaglianza $n^2+1 \le 2n^2$ valida per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, ottieni:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n+5+n e^n}{n^2 e^n+e^n}>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1} \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=+\infty$$
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