Convergenza del reciproco di una serie

[pizzi]

volevo solo cercare di capire una cosa...
è sempre vero che se $ sum a_n $ converge, allora $ sum 1/a_n $ diverge??
ad intuito direi proprio di sì...ma non si sa mai...

[dissonance]

Se "diverge" significa "non converge" allora si. Infatti necessariamente $a_n\to0$ quindi di sicuro non può essere che $1/(a_n)\to0$; non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza di $sum 1/(a_n)$.

[pizzi]

ok grazie!!

[Gatto891]

Certo dipendi da cosa intendi per diverge... se prendi la serie:

$\sum(-1)^n/n$, questa converge per Leibniz. Ma il suo reciproco è $\sum(-1)^n n$ che è una serie oscillante (nè convergente nè divergente in senso stretto).

[pizzi]

spero di non andare troppo OT...
ho trovato questo quesito...
$ sum a_n $ e $ sum 1/b_n $ sono entrambe a termini positivi e convergono, allora è sempre vero che:
a) $ sum a_n/b_n $ converge
b) $ sum a_n/b_n $ non converge
c) $ sum a_n b_n $ converge
d) $ sum a_n b_n $ non converge

e sono indeciso tra la a e la d...la a sembra abbastanza scontata..ma non riesco a escludere la d....help!!

[pizzi]

mi dispiace, ma uppo!! qualcuno mi illumina su questo problema??

[gugo82]

La a) è certamente vera.

Infatti se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge, allora [tex]$a_n\to 0$[/tex] e quindi esiste un [tex]$M>0$[/tex] tale che [tex]$0\leq a_n
[tex]$\sum \frac{a_n}{b_n} \leq M\ \sum \frac{1}{b_n} <+\infty$[/tex].

[pizzi]

grazie mille! più o meno ho capito..penso si faccia un ragionamento analogo anche per escludere la risposta d giusto??