Convergenza del metodo delle tangenti di Newton
chi mi aiuta a capire qualitativamente questi teoremi sulla convergenza dell'algoritmo in oggetto?
Teorema 1:
sia $finC^2[a,b]$ sia $p in [a,b]$ tale che $f(p)=0$ e $f'(p)!=0$
allora esiste $delta>0$ tale che il metodo fi Newton genera una sequenza ${p_n}_(n=1)^oo$ che converge a p per ogni $p_0in[p-delta, p+delta]$
questo è abbastanza chiaro.
Solo non ho capito: "This theorm states that, under reasonable assumptions [cioè?? A quali si riferisce?], Newton's method converges provided a sufficiently accurate [quanto accurata?] initial approximation is chosen. (ciò significa che il metodo è LOCALMENTE convergente?)"
perchè deve essere $f'(p)!=0$? E' solo un'ipotesi che ci serve per la dimostrazione oppure ha un riscontro geometrico, grafico?
Teorema 2 [sulla convergenza] (dagli appunti):
dato un intervallo I=[a,b] supponiamo che sia $finC^2(I)$, sia $alpha in I$ t.C. $f(alpha)=0$ e definiamo la successione con il metodo di Newton a partire da $x_0inI$: $x_(n+1)=x_n-(f(x_n))/(f'(x_n)$
allora esiste una successione $zeta_nin[alpha, xn]$ (cosa significa una successione in un intervallo?) tale che $(alpha-x_(n+1))^2=1/2(alpha-x_n)^2$
In poche parole il teorema ci dice come varia l'errore $ (alpha-x_n)$ da un passo al successivo.
Mi chiedo chi sia $zeta_n$? e cosa c'entra in questo enunciato? A cosa ci serve? E' forse la sequenza ${p_n}_(n=1)^oo$ del teorema precedente?
Poi perché si richiede $finC^2(I)$?
Teorema 3:
sia $finC^2$ e supponiamo di poter definire un numero M in questo modo:
$M=(S_(x inI)|f^N(x)|)/(2(S_(x inI)|f'(x)|))
)
se si può trovare M allora:
1) esiste $x_0in I$ t.c. $M(alpha-x_0)<1$ (?:??:?)
2) l'errore si può scrivere come $|alpha-x_n|<=1/M(M*|alpha-x_0|)^(2^n)$
Teorema 1:
sia $finC^2[a,b]$ sia $p in [a,b]$ tale che $f(p)=0$ e $f'(p)!=0$
allora esiste $delta>0$ tale che il metodo fi Newton genera una sequenza ${p_n}_(n=1)^oo$ che converge a p per ogni $p_0in[p-delta, p+delta]$
questo è abbastanza chiaro.
Solo non ho capito: "This theorm states that, under reasonable assumptions [cioè?? A quali si riferisce?], Newton's method converges provided a sufficiently accurate [quanto accurata?] initial approximation is chosen. (ciò significa che il metodo è LOCALMENTE convergente?)"
perchè deve essere $f'(p)!=0$? E' solo un'ipotesi che ci serve per la dimostrazione oppure ha un riscontro geometrico, grafico?
Teorema 2 [sulla convergenza] (dagli appunti):
dato un intervallo I=[a,b] supponiamo che sia $finC^2(I)$, sia $alpha in I$ t.C. $f(alpha)=0$ e definiamo la successione con il metodo di Newton a partire da $x_0inI$: $x_(n+1)=x_n-(f(x_n))/(f'(x_n)$
allora esiste una successione $zeta_nin[alpha, xn]$ (cosa significa una successione in un intervallo?) tale che $(alpha-x_(n+1))^2=1/2(alpha-x_n)^2$
In poche parole il teorema ci dice come varia l'errore $ (alpha-x_n)$ da un passo al successivo.
Mi chiedo chi sia $zeta_n$? e cosa c'entra in questo enunciato? A cosa ci serve? E' forse la sequenza ${p_n}_(n=1)^oo$ del teorema precedente?
Poi perché si richiede $finC^2(I)$?
Teorema 3:
sia $finC^2$ e supponiamo di poter definire un numero M in questo modo:
$M=(S_(x inI)|f^N(x)|)/(2(S_(x inI)|f'(x)|))
)se si può trovare M allora:
1) esiste $x_0in I$ t.c. $M(alpha-x_0)<1$ (?:??:?)
2) l'errore si può scrivere come $|alpha-x_n|<=1/M(M*|alpha-x_0|)^(2^n)$
Risposte
"raff5184":
Teorema 1:
sia $finC^2[a,b]$ sia $p in [a,b]$ tale che $f(p)=0$ e $f'(p)!=0$
allora esiste $delta>0$ tale che il metodo fi Newton genera una sequenza ${p_n}_(n=1)^oo$ che converge a p per ogni $p_0in[p-delta, p+delta]$
questo è abbastanza chiaro.
Solo non ho capito: "This theorm states that, under reasonable assumptions [cioè?? A quali si riferisce?], Newton's method converges provided a sufficiently accurate [quanto accurata?] initial approximation is chosen. (ciò significa che il metodo è LOCALMENTE convergente?)"
perchè deve essere $f'(p)!=0$? E' solo un'ipotesi che ci serve per la dimostrazione oppure ha un riscontro geometrico, grafico?
non ricordo molto del metodo di Newton ma SICURAMENTE è loc. convergente..
Per la convergenza però non basta la semplice localizzazione della radice, occorre infatti che l'approssimazione iniziale
sia nel dominio di attrazione della radice ( che ovviamente non è facile da determinare!!!!).
"raff5184":
perchè deve essere $f'(p)!=0$? E' solo un'ipotesi che ci serve per la dimostrazione oppure ha un riscontro geometrico, grafico?
ovviamente serve per la dim
Riscontro grafico?
Immagina una $f$ con derivata nulla in $p$, che sia una sorta di oscillazioni smorzate (q.b.).
Allora, se tu tracci la tangente per un punto, la intesezione di questa con l'asse delle ascisse ti può andare a finire lontano. E ciò ti può capitare per quanto vai a lavorare vicino a $p$. Insomma, non tovi il $\delta$.
Ti suggerisco di farti un disegnino (ora che non posso più dae questi suggerimenti a Giova411, mi sfogo con te)
"milady":
l'approssimazione iniziale
sia nel dominio di attrazione della radice ( che ovviamente non è facile da determinare!!!!).
cos'è il dominio di attrazione?
"Fioravante Patrone":[/quote]
Immagina una $f$ con derivata nulla in $p$, che sia una sorta di oscillazioni smorzate (q.b.).
Allora, se tu tracci la tangente per un punto, la intesezione di questa con l'asse delle ascisse ti può andare a finire lontano. E ciò ti può capitare per quanto vai a lavorare vicino a $p$. Insomma, non tovi il $\delta$.
Ti suggerisco di farti un disegnino
Ottimo ho capito questo punto grazie
[quote="Fioravante Patrone"]
(ora che non posso più dae questi suggerimenti a Giova411, mi sfogo con te)
è una minaccia?!
Scherzo, anzi mi fa molto piacere, così imparo qualcosa
"raff5184":
cos'è il dominio di attrazione?
L'insieme dei punti iniziali $x_0$ le cui iterate convergono ad uno zero della funzione...
non vorrei essere frainteso, io mi riferivo ai miei reiterati inviti a fare i disegnini!
"milady":
[quote="raff5184"]
cos'è il dominio di attrazione?
L'insieme dei punti iniziali $x_0$ le cui iterate convergono ad uno zero della funzione...[/quote]
Volendo è quell'intervallo $[p-delta, p+delta]$ tale che se il punto iniziale della successione è ivi contenuto l'algoritmo convrge?
"Fioravante Patrone":
non vorrei essere frainteso, io mi riferivo ai miei reiterati inviti a fare i disegnini!
Sono anche una mia fissa quando studio mate!
"raff5184":
[quote="milady"][quote="raff5184"]
cos'è il dominio di attrazione?
L'insieme dei punti iniziali $x_0$ le cui iterate convergono ad uno zero della funzione...[/quote]
Volendo è quell'intervallo $[p-delta, p+delta]$ tale che se il punto iniziale della successione è ivi contenuto l'algoritmo convrge?[/quote]
esatto...
Ovviamente la determinazione del dominio di attrazione e quindi il criterio di scelta
per l'approssimazione iniziale non è semplice quando lo zero a priori non lo conosci!!
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