Convergenza debole
Sia [tex](X,||.||_1)[/tex] uno spazio normato. In esso possiamo distinguere il concetto di convergenza forte (convergenza in norma) da quello di convergenza debole.
In generale, è sempre possibile trovare una norma [tex]||.||_2[/tex] su [tex]X[/tex], tale che la convergenza debole in [tex](X,||.||_1)[/tex] equivale alla convergenza forte in [tex](X,||.||_2)[/tex]?
In generale, è sempre possibile trovare una norma [tex]||.||_2[/tex] su [tex]X[/tex], tale che la convergenza debole in [tex](X,||.||_1)[/tex] equivale alla convergenza forte in [tex](X,||.||_2)[/tex]?
Risposte
Per fortuna a questa domanda so rispondere (l'altra, quella su Hahn-Banach, è per me più difficile). La risposta è no. La topologia debole infatti non è mai indotta da nessuna norma, a parte il caso banale degli spazi di dimensione finita.
Non ero a conoscenza della risposta (ovviamente, altrimenti non avrei postato), ma intuitivamente pensavo che si potesse sempre trovare una norma che induce la topologia debole. Chiaramente, come hai detto tu, in dimensione finita la topologia debole coincide con quella forte. Ti ringrazio.
Se ti serve, la dimostrazione di questo risultato è qui:
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
§3.3 pag. 173. L'idea è: se lo spazio vettoriale topologico $(X, sigma(X, X'))$ (topologia debole) fosse normabile, esisterebbe almeno un intorno limitato dell'origine (il concetto di insieme limitato si può definire negli spazi vettoriali topologici). E invece ogni intorno dell'origine di $(X, sigma(X, X'))$ contiene un sottospazio vettoriale di dimensione infinita, che limitato non è di sicuro, qualunque definizione noi abbiamo adottato. Non è difficile, solo bisogna acquisire prima qualche definizione sugli spazi vettoriali topologici per formalizzare con precisione.
http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
§3.3 pag. 173. L'idea è: se lo spazio vettoriale topologico $(X, sigma(X, X'))$ (topologia debole) fosse normabile, esisterebbe almeno un intorno limitato dell'origine (il concetto di insieme limitato si può definire negli spazi vettoriali topologici). E invece ogni intorno dell'origine di $(X, sigma(X, X'))$ contiene un sottospazio vettoriale di dimensione infinita, che limitato non è di sicuro, qualunque definizione noi abbiamo adottato. Non è difficile, solo bisogna acquisire prima qualche definizione sugli spazi vettoriali topologici per formalizzare con precisione.
Ti ringrazio per gli spunti di approfondimento, sarebbe interessante poter andare a fondo in questo campo. Tuttavia, il tempo a disposizione scarseggia e il corso di analisi funzionale è già molto pesante se ci si limita agli argomenti a lezioni 
Lo so, Kroldar, ne sono convinto. Infatti cercavo solo di dare un'idea senza entrare nel tecnico, altrimenti non ne usciremmo più. Questa teoria degli spazi vettoriali topologici anche io la conosco solo amatorialmente ed è molto vasta e complicata.
Comunque quanto dicevo sopra si può riformulare in modo più semplice. Prendiamo uno spazio normato di dimensione infinita e supponiamo esista una norma che ne induce la convergenza debole. Se c'è una norma, c'è una sfera unitaria (e un sistema di sfere centrate nell'origine). Ma non si capisce come questo oggetto possa essere fatto, perché comunque tu provi a definirlo troverai che contiene il nucleo di qualche forma lineare continua. Ecco, questo tanto per fare due chiacchiere da bar.
Comunque quanto dicevo sopra si può riformulare in modo più semplice. Prendiamo uno spazio normato di dimensione infinita e supponiamo esista una norma che ne induce la convergenza debole. Se c'è una norma, c'è una sfera unitaria (e un sistema di sfere centrate nell'origine). Ma non si capisce come questo oggetto possa essere fatto, perché comunque tu provi a definirlo troverai che contiene il nucleo di qualche forma lineare continua. Ecco, questo tanto per fare due chiacchiere da bar.
se c'è una sfera unitaria centrata nell'origine, cosa comporta ciò ai fini della convergenza? che tra i vettori appartenenti a tale sfera non è possibile trovare alcuna sottosuccessione convergente ad un altro quindi non c'è convergenza debole?
No, no sei completamente fuori strada. Lascia stare, cercavo solo di spiegare intuitivamente perché la convergenza debole non può essere indotta da una norma, ma evidentemente non ho avuto molto successo con questa immagine della sfera unitaria.
Penso che dissonance intendesse dire qualcosa di questo tipo:
un intorno in una topologia debole lo puoi visualizzare come una sorta di "tubo" finito-dimensionale; un tubo del genere non è compatibile con le palle della topologia forte.
PS: bentornato dissonance!
un intorno in una topologia debole lo puoi visualizzare come una sorta di "tubo" finito-dimensionale; un tubo del genere non è compatibile con le palle della topologia forte.
PS: bentornato dissonance!
Non vorrei dire una stupidaggine, ma mi pare che si possa dire anche un'altra cosa: tolto il caso banale di dimensione finita, abbiamo che se $X$ è normato allora la topologia debole non è indotta da una norma, ma nemmeno da una metrica, cioè lo spazio non è metrizzabile.
[A intuito, direi che si potrebbe dimostrare così: se $X$ è normato, allora il duale è completo e quindi non può ammettere una base di Hamel numerabile (Baire). Ora non dovrebbe essere difficile dedurre da questo la non metrizzabilità di $\sigma(X,X')$, ricordando che per spazi vettoriali topologici la metrizzabilità è equivalente all'essere primo numerabile.]
Se qualcuno vuole confermare/smentire/sistemare quello che ho detto lo ascolto volentieri.
[A intuito, direi che si potrebbe dimostrare così: se $X$ è normato, allora il duale è completo e quindi non può ammettere una base di Hamel numerabile (Baire). Ora non dovrebbe essere difficile dedurre da questo la non metrizzabilità di $\sigma(X,X')$, ricordando che per spazi vettoriali topologici la metrizzabilità è equivalente all'essere primo numerabile.]
Se qualcuno vuole confermare/smentire/sistemare quello che ho detto lo ascolto volentieri.
Sì, è vero: se $X$ è uno spazio di Banach infinito-dimensionale, allora $X$ munito della topologia debole non è metrizzabile.
Lo schema della dimostrazione si trova nell'Esercizio 3.8 dell'edizione inglese del Brezis.
Lo schema della dimostrazione si trova nell'Esercizio 3.8 dell'edizione inglese del Brezis.
Grazie del bentornato Rigel! Ciao Paolo! In realtà ogni tanto faccio un giretto qui sopra e vi leggo un po', è che non intervengo quasi più per questioni di tempo.
Venendo al discorso della metrizzabilità debole, è un argomento che proprio di recente ho approfondito grazie a un bellissimo corso di analisi che sto seguendo qui all'università "Autònoma" di Madrid. Si tratta di uno di quegli argomenti che finora ho sempre bollato come "abstract nonsense" nel senso spregiativo, ovvero roba autoreferenziale e fine a se stessa. E' stato un grosso errore perché in realtà la non metrizzabilità della topologia debole è una fenomeno rilevante, e comprendendolo bene si apprezza molto di più uno dei più importanti procedimenti dell'analisi (IMHO): il procedimento diagonale, anche noto come "diagonal sequence trick". Precisamente, si può formulare il seguente lemma.
Lemma.(Procedimento diagonale) Sia $X$ uno spazio topologico metrizzabile e sia $f\in X$. Sia assegnato un sottoinsieme $G$ (="good") di $X$. Supponiamo che esista una successione $f_n$ convergente a $X$ e tale che per ogni indice $n$ esista una successione $(g^{(n)}_j)_j$ di elementi di $G$ tale che $g^{(n)}_j \to f_n$. Allora esiste una successione di elementi di $G$ convergente a $f$.
Dimostrazione. Sia $d$ una distanza su $X$. Si tratta di fare in modo che
\begin{align}
d(g_1^{(1)}, f_1)&\le 1, \\
d(g_2^{(2)}, f_2)&\le 1/2, \\
&\vdots \\
d(g_k^{(k)}, f_k)&\le 1/k, \\
&\vdots \\
\end{align}
cosa che si può sempre realizzare in maniera algoritmica, scartando ad ogni passo $n$ al più un numero finito di elementi di $(g^{(n)}_j)_j$. Dopodiché è facile verificare che $(g_n^{(n)})_n$ è una successione in $G$ convergente ad $f$. \(\square\)
Osservazione. In termini astratti si può dire che "la chiusura sequenziale della chiusura sequenziale di $G$ coincide con la chiusura sequenziale di $G$", il che appare ovvio da un punto di vista topologico, visto che in uno spazio metrizzabile la chiusura sequenziale coincide con la chiusura topologica e, come è noto, la chiusura topologica della chiusura topologica coincide con la chiusura topologica. Ma questo punto di vista mi pare sottostimi l'importanza del procedimento diagonale.
La topologia debole non è in generale metrizzabile esattamente perché non è in generale possibile innescare un procedimento diagonale. Questa osservazione si deve a Von Neumann che ha prodotto il seguente esempio.
Esempio. Sia
\begin{equation}
G=\{ e^{i m t} + m e^{i n t}\, |\, n,\,m\in \mathbb{N},\,n,m\ge 1\}\subset L^2([0, 2\pi]),
\end{equation}
e sia $f=0\in L^2([0, 2\pi])$. La successione $(e^{i m t})_m$ converge a $0$ nella topologia debole di $L^2$, e per ogni fissato $m$ la successione
\begin{equation}
(e^{i m t} + m e^{i n t})_n
\end{equation}
appartiene a $G$ e converge a $e^{i m t}$ nella topologia debole. Insomma, se la topologia debole di $L^2$ fosse metrizzabile ci sarebbero tutti i presupposti per innescare un procedimento diagonale e trovare una successione di elementi di $G$ convergente debolmente a $0$. Senonché risulta che questo non è possibile. Infatti consideriamo una successione
\begin{equation}
\left( e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \right)_j \subset G.
\end{equation}
Se $m_j$ non è limitata, allora l'intera successione non è limitata nella norma di $L^2$, perché
\begin{equation}
\left\lVert e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \right\rVert_2^2\ge (m_j^2-1)2\pi,
\end{equation}
e quindi non può essere debolmente convergente a nessun elemento di $L^2$. Se $m_j$ è limitata e $n_j$ è non limitata, allora (a meno di estratte) $m_j \to m \in \mathbb{N}$ e $n_j \to \infty$, cosicché
\begin{equation}
e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \rightharpoonup e^{i m t} \ne 0.
\end{equation}
E infine, se $m_j$ è limitata e $n_j$ è limitata, sempre a meno di estratte possiamo assumere $m_j\to m$ e $n_j \to n$, cosicché
\begin{equation}
e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \rightharpoonup e^{i m t} +m e^{i nt}\ne 0,
\end{equation}
(in quest'ultimo caso la convergenza è addirittura forte).
Insomma, il procedimento diagonale non funziona proprio. Il che, grazie al Lemma precedente, ci dice che la topologia debole dello spazio $L^2$ non è metrizzabile.
Venendo al discorso della metrizzabilità debole, è un argomento che proprio di recente ho approfondito grazie a un bellissimo corso di analisi che sto seguendo qui all'università "Autònoma" di Madrid. Si tratta di uno di quegli argomenti che finora ho sempre bollato come "abstract nonsense" nel senso spregiativo, ovvero roba autoreferenziale e fine a se stessa. E' stato un grosso errore perché in realtà la non metrizzabilità della topologia debole è una fenomeno rilevante, e comprendendolo bene si apprezza molto di più uno dei più importanti procedimenti dell'analisi (IMHO): il procedimento diagonale, anche noto come "diagonal sequence trick". Precisamente, si può formulare il seguente lemma.
Lemma.(Procedimento diagonale) Sia $X$ uno spazio topologico metrizzabile e sia $f\in X$. Sia assegnato un sottoinsieme $G$ (="good") di $X$. Supponiamo che esista una successione $f_n$ convergente a $X$ e tale che per ogni indice $n$ esista una successione $(g^{(n)}_j)_j$ di elementi di $G$ tale che $g^{(n)}_j \to f_n$. Allora esiste una successione di elementi di $G$ convergente a $f$.
Dimostrazione. Sia $d$ una distanza su $X$. Si tratta di fare in modo che
\begin{align}
d(g_1^{(1)}, f_1)&\le 1, \\
d(g_2^{(2)}, f_2)&\le 1/2, \\
&\vdots \\
d(g_k^{(k)}, f_k)&\le 1/k, \\
&\vdots \\
\end{align}
cosa che si può sempre realizzare in maniera algoritmica, scartando ad ogni passo $n$ al più un numero finito di elementi di $(g^{(n)}_j)_j$. Dopodiché è facile verificare che $(g_n^{(n)})_n$ è una successione in $G$ convergente ad $f$. \(\square\)
Osservazione. In termini astratti si può dire che "la chiusura sequenziale della chiusura sequenziale di $G$ coincide con la chiusura sequenziale di $G$", il che appare ovvio da un punto di vista topologico, visto che in uno spazio metrizzabile la chiusura sequenziale coincide con la chiusura topologica e, come è noto, la chiusura topologica della chiusura topologica coincide con la chiusura topologica. Ma questo punto di vista mi pare sottostimi l'importanza del procedimento diagonale.
La topologia debole non è in generale metrizzabile esattamente perché non è in generale possibile innescare un procedimento diagonale. Questa osservazione si deve a Von Neumann che ha prodotto il seguente esempio.
Esempio. Sia
\begin{equation}
G=\{ e^{i m t} + m e^{i n t}\, |\, n,\,m\in \mathbb{N},\,n,m\ge 1\}\subset L^2([0, 2\pi]),
\end{equation}
e sia $f=0\in L^2([0, 2\pi])$. La successione $(e^{i m t})_m$ converge a $0$ nella topologia debole di $L^2$, e per ogni fissato $m$ la successione
\begin{equation}
(e^{i m t} + m e^{i n t})_n
\end{equation}
appartiene a $G$ e converge a $e^{i m t}$ nella topologia debole. Insomma, se la topologia debole di $L^2$ fosse metrizzabile ci sarebbero tutti i presupposti per innescare un procedimento diagonale e trovare una successione di elementi di $G$ convergente debolmente a $0$. Senonché risulta che questo non è possibile. Infatti consideriamo una successione
\begin{equation}
\left( e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \right)_j \subset G.
\end{equation}
Se $m_j$ non è limitata, allora l'intera successione non è limitata nella norma di $L^2$, perché
\begin{equation}
\left\lVert e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \right\rVert_2^2\ge (m_j^2-1)2\pi,
\end{equation}
e quindi non può essere debolmente convergente a nessun elemento di $L^2$. Se $m_j$ è limitata e $n_j$ è non limitata, allora (a meno di estratte) $m_j \to m \in \mathbb{N}$ e $n_j \to \infty$, cosicché
\begin{equation}
e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \rightharpoonup e^{i m t} \ne 0.
\end{equation}
E infine, se $m_j$ è limitata e $n_j$ è limitata, sempre a meno di estratte possiamo assumere $m_j\to m$ e $n_j \to n$, cosicché
\begin{equation}
e^{im_j t} + m_j e^{i n_j t} \rightharpoonup e^{i m t} +m e^{i nt}\ne 0,
\end{equation}
(in quest'ultimo caso la convergenza è addirittura forte).
Insomma, il procedimento diagonale non funziona proprio. Il che, grazie al Lemma precedente, ci dice che la topologia debole dello spazio $L^2$ non è metrizzabile.
Ciao dissonance! Che piacere rileggerti
Grazie per il tuo super-post! Bello!
Provo ad aggiungere anche io qualcosa, seguendo lo spunto di Rigel, che ringrazio per il suo post. In effetti, a leggere rapidamente l'esercizio del Brézis, mi pare che l'idea di fondo sia la stessa. In ogni caso, si tratta di tirare in ballo l'esistenza di una base di Hamel per \(X^\ast\) da cui seguirebbe subito l'assurdo (infatti, per Baire, \(X^\ast\) non potrebbe essere completo).
Provo a scrivere tutto per bene, se qualcuno ha voglia di controllare mi fa un immenso piacere.
Che dite? Vi convince?
Due osservazioni conclusive: mi pare anche vero ("ovviamente") che se il duale ha Hamel base al più numerabile allora la topologia debole è metrizzabile (basta vedere come è fatta una base locale in 0: sarà chiaramente numerabile e ciò, per spazi vettoriali topologici, basta per la metrizzabilità). Quindi anche l'altra freccia è vera e pertanto la nostra è un'equivalenza. Per altro, osservo che non ho usato l'ipotesi che $X$ sia completo (mi serve che il duale sia completo).
Come dice Brézis, poi, con la stessa tecnica si può mostrare che (questa volta serve la completezza di $X$) anche la topologia debole-* non è metrizzabile, tolto il caso di spazi di dimensione finita.
Grazie a tutti.
Grazie per il tuo super-post! Bello!
Provo ad aggiungere anche io qualcosa, seguendo lo spunto di Rigel, che ringrazio per il suo post. In effetti, a leggere rapidamente l'esercizio del Brézis, mi pare che l'idea di fondo sia la stessa. In ogni caso, si tratta di tirare in ballo l'esistenza di una base di Hamel per \(X^\ast\) da cui seguirebbe subito l'assurdo (infatti, per Baire, \(X^\ast\) non potrebbe essere completo).
Provo a scrivere tutto per bene, se qualcuno ha voglia di controllare mi fa un immenso piacere.
Che dite? Vi convince?
Due osservazioni conclusive: mi pare anche vero ("ovviamente") che se il duale ha Hamel base al più numerabile allora la topologia debole è metrizzabile (basta vedere come è fatta una base locale in 0: sarà chiaramente numerabile e ciò, per spazi vettoriali topologici, basta per la metrizzabilità). Quindi anche l'altra freccia è vera e pertanto la nostra è un'equivalenza. Per altro, osservo che non ho usato l'ipotesi che $X$ sia completo (mi serve che il duale sia completo).
Come dice Brézis, poi, con la stessa tecnica si può mostrare che (questa volta serve la completezza di $X$) anche la topologia debole-* non è metrizzabile, tolto il caso di spazi di dimensione finita.
Grazie a tutti.
Auto correzione: mi sa che c'è qualcosa che non va. Non ho mostrato che l'insieme $B$ è fatto da funzionali linearmente indipendenti e, soprattutto, il lemma di Brézis non garantisce l'unicità dei coefficienti della combinazione lineare. Dovrò ripensarci, uffi!
Qualcuno ha voglia di aiutarmi a metterci una pezza? Grazie.
Qualcuno ha voglia di aiutarmi a metterci una pezza? Grazie.
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