Convergenza debole

[miuemia]

qualcuno sa spiegarmi come mai la successione $f(x+n)$ converge debolmente a $0$ in $L^p$?
dove $f \in L^p (RR)$ e $f!=0$.
grazie mille...

[Andrea2976]

Spero di ricordami bene...allora, la convergenza debole può essere vista come la convergenza dei funzionali lineari quindi se L:L^p->R è funzionale lineare basta dimostrare che L(f(x+n))->L(f(x)).
Ora per un teorema di rappresentazione (di Riesz) ogni funzionale lineare in L^p si può scrivere come int f(x)g(x)dx per una opportuna g \in L^p'.
Per la convergenza nel tuo caso basta dimostrare che int (f(x+n)-f(x))g(x)dx->0 per ogni g in L^p'.
Lo si può verificare facilmente per ogni g funzione caratteristica di un aperto, grazie ad un teorema di densità il gioco è fatto!

Nel tuo caso f(x)=0.

[miuemia]

si però l'aperto deve avere misura finita...
e quindi se $g=\chi_[(a,b)]$ allora risulta che
$int f(x+n)g$
cioè $int f(x+n)$ fatto sull 'intervallo $(a,b)$ e chi mi dice che va a $0$????

[Andrea2976]

Appena x+n non appertiene più ad (a,b) l'integrale viene nullo dato che si (dimostrandolo) può passare al limite sotto il segno di integrale.

[miuemia]

e come mai viene nullo??? nn riesco a capire.
sono d'accordo con il fatto che $x+n$ non appartiene più all'interevallo $(a,b)$ da un certo $n$ in poi ma come mai risulta $0$????

[Andrea2976]

Se pensi l'integrale come prodotto della funzione indicatrice e della f(x+n), non appena x+n non appartiene più ad (a,b) la funzione indicatrice vale zero e di conseguenza anche int f(x+n)I(a,b). Spero di non sbagliarmi...magari aspettiamo anche la risposta di un analista.