Convergenza debole

[Dalfi1]

Salve ragazzi, sapreste dirmi se è valido ed è possibile dimostrare il seguente risultato?

\( \psi_{1n} \rightharpoonup \psi_1 \) in \( L^4 \) e \( \psi_{2n} \rightharpoonup \psi_2 \) in \( L^4 \) \( \Rightarrow \psi_{1n}\psi_{2n} \rightharpoonup \psi_1\psi_2 \) in \( L^2 \)

Per dimostrarlo servono le successioni estratte?

[Dalfi1]

Nessuno sa darmi qualche consiglio? :/

[dissonance]

Non è facile rispondere, dovresti dare un po' di contesto. Per esempio, da dove ti vengono fuori quegli spazi (\(L^4\) e \(L^2\))? Queste cose di solito non sono immediate, prova a fare una ricerca su internet. Io ho trovato questo che potrebbe esserti di aiuto.

[Dalfi1]

"dissonance":Non è facile rispondere, dovresti dare un po' di contesto. Per esempio, da dove ti vengono fuori quegli spazi (\(L^4\) e \(L^2\))? Queste cose di solito non sono immediate, prova a fare una ricerca su internet. Io ho trovato questo che potrebbe esserti di aiuto.

Grazie per la risposta, effettivamente hai ragione, ho saltato alcune ipotesi. Sto studiando un funzionale dell'energia. Le due successioni fornite rappresentano una sequenza minimizzante per tale funzionale. So che soddisfano le seguenti ipotesi (oltre alla suddette convergenze deboli in \(L^4\)):

\( \psi_{1n}, \psi_{2n} \in L^2 \cap L^4, \)
\( \|\psi_{1n}\|_4
con \(C\) costante. Tali limitazioni sono conseguenza della "struttura" del funzionale (da cui anche gli spazi di appartenenza) e del fatto che la sequenza è minimizzante.
Inoltre mi trovo in \(\mathbb{R}^n\).

[dissonance]

Prova a cercare "div-curl lemma", sospetto che ti possa servire (attenzione: sono cose che conosco appena, è possibile che invece non ti serva a niente)

[Dalfi1]

"dissonance":Prova a cercare "div-curl lemma", sospetto che ti possa servire (attenzione: sono cose che conosco appena, è possibile che invece non ti serva a niente)

Grazie mille, ci darò sicuramente un'occhiata