Convergenza da verificare

[barabbo]

salve,
c'è questa serie da vedere se converge o no,
non capisco come agire....naturalmente da 1 a infinito...

$ sum$ $ln(e^(1/k) + sin(1/k))$


pensavo di agire facendo il limite notevole $(e^(1/k)-1)/(1/k) $ e anche $sin(1/k)/(1/k)$
usando il trucchetto +1-1 ....
ma non funge...

[barabbo]

oppure ho provato a studiare direttamente il contenuto del logaritmo,
vedendo che converge a 1...ma perciò credo sia inutile

[Euphurio]

Condizione necessaria alla convergenza di una serie è che il termine generale sia infinitesimo. Provando che il limite per [tex]k\to+\infty[/tex] dell'argomento del logaritmo vale 1 hai provato che la serie potrebbe convergere. Adesso devi pensare a quale criterio utilizzare per studiarne il carattere.

[Pdirac]

Hai che $sin(1/k)$ è definitivamente positivo, e la funzione logaritmo quando la base è maggiore di 1 (come $e$ in questo caso) è crescente, per cui $ln(e^(1/k) + sin(1/k)) >= ln(e^(1/k)) = 1/k$ che è la serie armonica, che sappiamo divergente.

[barabbo]

percio' diverge !

ma avendo avuto per ipotesi soltanto la sommatoria

$ln(sin(1/x))$

avrebbe avuto senso confrontarla con $1/(n^2)$
in modo da avere poi
$ln(sin(1/x))^(n^2)$ ? con la conclusione CHE NON CONVERGE?

oppure avendo
$ln(x)*sin(1/x)$
avrebbe avuto senso dire che $ln(x)*sin(1/x) < ln(x)*(1/x)$
e essendo $ln(x)/x$ convergente dire che converge?

[Pdirac]

"barabbo":ma avendo avuto per ipotesi soltanto la sommatoria

$ln(sin(1/x))$

avrebbe avuto senso confrontarla con $1/(n^2)$
in modo da avere poi
$ln(sin(1/x))^(n^2)$ ?

Dipende dal significato che dai a "senso" . Se ne hai voglia puoi confrontarla pure con $sqrt(n^(\pi^(27e)))$, poi tocca vedere se questo ti porta a qualcosa!
In questo caso non avresti bisogno comunque di fare nessun confronto, perché l'argomento del logaritmo tende a zero (rimanendo sempre strettamente positivo, altrimenti avresti un problema ) "da sopra" per cui la successione non è infinitesima e quindi la serie diverge.
Tu in che modo pensavi di sbrigartela con quel confronto?

oppure avendo
$ln(x)*sin(1/x)$
avrebbe avuto senso dire che $ln(x)*sin(1/x) < ln(x)*(1/x)$
e essendo $ln(x)/x$ convergente dire che converge?

Direi di sì!

[barabbo]

"Pdirac":[quote="barabbo"]ma avendo avuto per ipotesi soltanto la sommatoria

$ln(sin(1/x))$

avrebbe avuto senso confrontarla con $1/(n^2)$
in modo da avere poi
$ln(sin(1/x))^(n^2)$ ?

Dipende dal significato che dai a "senso" . Se ne hai voglia puoi confrontarla pure con $sqrt(n^(\pi^(27e)))$, poi tocca vedere se questo ti porta a qualcosa!
In questo caso non avresti bisogno comunque di fare nessun confronto, perché l'argomento del logaritmo tende a zero (rimanendo sempre strettamente positivo, altrimenti avresti un problema ) "da sopra" per cui la successione non è infinitesima e quindi la serie diverge.
Tu in che modo pensavi di sbrigartela con quel confronto?

[/quote]

ah si mi ero confuso...bastava dire che il limite di $ln(sin(1/x))$ non è zero...
grazie