Convergenza: cosa cambia?

[Blizz1]

Ciao a tutti,

vi segnalo questa domanda:



cosa cambia tra la risposta $a$ e la risposta $b$?

Infatti mi viene che il $lim_{n \rightarrow +\infty} f_n = $

$0$ se $0 $1$ se $x=1$
$+\infty$ se $x>1$


Quindi ho valutato:

$lim_{x \rightarrow 0}= 1$

$lim_{x \rightarrow 1]=1$

Quindi sceglierei una risposta che mi escluda sia $0$ che $1$. Ma per quale motivo dovrei togliere anche l'intorno di $0$ e $1$ e quindi scegliere la risposta $a$ piuttosto che la risposta $b$?

Grazie per l'aiuto.

[quantunquemente]

scriviamo la $f_n(x)$ in questa forma :
$f_n(x)=e^(n/2xlnx)$
analizziamo la funzione $g(x)=xlnx$ in $(0,1)$ : il suo codominio ha come estremo superiore $0$ in corrispondenza di $x=0$ ed $x=1$

quindi $f_n(x)$ ha come estremo superiore, in $(0,1)$, $a_n=1$ e ovviamente $ lim_(n -> +infty)a_n=1 $
quindi la funzione non converge uniformemente nè in intervalli del tipo $(0,1-delta)$ nè in intervalli del tipo $(delta,1)$

se invece ci si mette in $[delta,1-delta]$ la $g(x)$ in tale intervallo assume un valore massimo negativo $M$
si ha che $f_n(x)$ ha come estremo superiore $a_n=e^(n/2M)$ e $ lim_(n -> +infty)a_n=0 $
si ha quindi la convergenza uniforme

[Blizz1]

Quindi sostanzialmente non basta escludere lo zero scrivendo: $]0, 1-\delta]$..