Convergenza assoluta serie di funzioni

[J3rry]

È da un po' che sbatto la testa su questa serie, qualcuno saprebbe aiutarmi a dimostrare il comportamento della serie?
$ \sum_{n=1}^{\infty} |\sin\frac{x}{n}| \qquad x\in\mathbb{R} $

[gugo82]

E come l'hai sbattuta?
Di fronte o con la tempia?

Scherzi a parte, cosa hai provato?

[PietroMFC]

io proverei con il criterio del confronto
ricordando che $ |sin(x)| \leq |x|$
ma magari sbaglio ^_^

[gugo82]

"PietroMFC":io proverei con il criterio del confronto
ricordando che $ |sin(x)| \leq |x|$
ma magari sbaglio ^_^

Non si va lontano così...

[PietroMFC]

"gugo82":[quote="PietroMFC"]io proverei con il criterio del confronto
ricordando che $ |sin(x)| \leq |x|$
ma magari sbaglio ^_^

Non si va lontano così...[/quote]

Nemmeno con il confronto asintotico?
Sarebbe sbagliato dire che $ |sin(x/n)| \tilde{} |x|/n$ ?

[J3rry]

"PietroMFC":io proverei con il criterio del confronto
ricordando che $ |sin(x)| \leq |x|$
ma magari sbaglio ^_^

Quella è la prima cosa che si fa, ma visto che la serie armonica è divergente non ottieni nulla

"gugo82":E come l'hai sbattuta?
Di fronte o con la tempia?

Scherzi a parte, cosa hai provato?

Ho provato a maggiorare la successione generatrice con una successione che non dipendesse dalla x per poi calcolare la serie della successione maggiorata. Se quest'ultima fosse stata convergente allora lo sarebbe stata anche la prima. Ovviamente ho provato subito con il criterio del rapporto ma non porta a nulla.

[gugo82]

"J3rry":[quote="gugo82"]E come l'hai sbattuta?
Di fronte o con la tempia?

Scherzi a parte, cosa hai provato?

Ho provato a maggiorare la successione generatrice con una successione che non dipendesse dalla x per poi calcolare la serie della successione maggiorata. Se quest'ultima fosse stata convergente allora lo sarebbe stata anche la prima. Ovviamente ho provato subito con il criterio del rapporto ma non porta a nulla.[/quote]
Maggiorare una serie che probabilmente diverge (si vede "ad occhio"... Perché? -Vedi sotto-) non è una buona idea.

Per quanto riguarda l'indipendenza da $x$... Perché? Perché secondo te dovrebbe essere desiderabile?
La convergenza/divergenza di una serie di funzioni (che non sia proprio banale da controllare) ci si aspetta che dipenda da come è scelto il valore della variabile, no?
con maggiorazioni uniformi rispetto alla variabile questa distinzione si perde.

"PietroMFC":[quote="gugo82"][quote="PietroMFC"]io proverei con il criterio del confronto
ricordando che $ |sin(x)| \leq |x|$
ma magari sbaglio ^_^

Non si va lontano così...[/quote]

Nemmeno con il confronto asintotico?
Sarebbe sbagliato dire che $ |sin(x/n)| \tilde{} |x|/n$ ?[/quote]
Non è sbagliato, anzi è la strada giusta.

Attenzione però a distinguere un paio di casi.

[J3rry]

"gugo82":Per quanto riguarda l'indipendenza da x... Perché? Perché secondo te dovrebbe essere desiderabile?
La convergenza/divergenza di una serie di funzioni (che non sia proprio banale da controllare) ci si aspetta che dipenda da come è scelto il valore della variabile, no?
con maggiorazioni uniformi rispetto alla variabile questa distinzione si perde.

Si hai ragione per la dipendenza dalla x, mi sono confuso con la convergenza uniforme che ovviamente non è necessaria per la convergenza assoluta. Se non ho capito male:
Per il criterio del confronto asintotico $ \sum_{n=1}^{\infty} |\sin\frac{x}{n}| $ e $ \sum_{n=1}^{\infty} |\frac{x}{n}| $ hanno lo stesso carattere quindi basta studiare la seconda. Se $ x = 0 $, chiaramente la serie converge a zero, se $ x \ne 0 $ la serie diverge positivamente perché: $ \sum_{n=1}^{\infty} |\frac{x}{n}| = |x|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty $
Giusto?