Convergenza assoluta serie

[enrico___1]

Trovare per quali valori di

[math]\alpha \in \Re[/math]

la serie converge assolutamente

[math]
\sum_{n=1}^\infty 3^{-\frac{1}{n}}\(\sinh\frac{1}{n}-n^{\alpha}+\frac{1}{n^3}\)
[/math]

Ho provato dicendo che con

[math]\alpha\geq 0[/math]

la serie diverge.
Per [math]\alpha

[ciampax]

Io direi di no... tra l'altro mi pare che ad un certo punto ti dimentichi dell'esponenziale. Per prima cosa, pongo

[math]a_n=\sinh\frac{1}{n}-n^\alpha+\frac{1}{n^3}[/math]

. Usando i confronti locali si vede che

[math]a_n\sim\frac{1}{n}+\frac{1}{6n^3}-n^\alpha+\frac{1}{n^3}=\frac{7+6n^2-6n^{\alpha+3}}{6n^3}\sim\\
\frac{1}{6n^3}\cdot\left\{\begin{array}{lcl}
-6n^{\alpha+3} & & \alpha+3>2\\ 7 & & \alpha+3=2\\ 6n^2 & & \alpha+3-1\\ 7/(6n^3) & & \alpha=-1\\ 1/n & & \alpha-1\\ 3^{-1/n}\cdot 7/(6n^3) & & \alpha=-1\\ 3^{-1/n}\cdot 1/n & & \alpha0\\ 1 & & \alpha=0\\ 0 & & -1