Convergenza assoluta e convergenza totale
Ciao ragazzi, ancora una volta ho bisogno di voi.
Vorrei chiarire bene la differenza tra convergenza assoluta e convergenza totale in quanto come definizione mi sembrano molto simili...
Cioè la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x) \):
Converge assolutamente se converge \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|f_{n}(x)| \)
e converge totalmente se converge \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sup|f_{n}(x)| \)
Quello che non capisco è questo: Se converge assolutamente in un certo insieme A, significa che converge per ogni x all'interno di questo insieme, giusto? Quindi perchè non dovrebbe convergere anche la somma dei sup?
Esistono eventualmente degli esempi per chiarire questo dubbio?
Grazie a tutti anticipatamente
Vorrei chiarire bene la differenza tra convergenza assoluta e convergenza totale in quanto come definizione mi sembrano molto simili...
Cioè la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x) \):
Converge assolutamente se converge \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|f_{n}(x)| \)
e converge totalmente se converge \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sup|f_{n}(x)| \)
Quello che non capisco è questo: Se converge assolutamente in un certo insieme A, significa che converge per ogni x all'interno di questo insieme, giusto? Quindi perchè non dovrebbe convergere anche la somma dei sup?
Esistono eventualmente degli esempi per chiarire questo dubbio?
Grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Beh, come al solito la serie geometrica viene in aiuto.
Infatti la serie \(\sum x^n\) converge assolutamente in \(]-1,1[\); però per ogni indice \(n\) si ha:
\[
\sup_{x\in ]-1,1[} |x^n| =\sup_{x\in ]-1,1[} |x|^n = \sup_{x\in [0,1[} x^n =1
\]
perciò la serie numerica \(\sum \sup_{]-1,1[} |x^n|\) diverge e dunque \(\sum x^n\) non converge totalmente in \(]-1,1[\).
Infatti la serie \(\sum x^n\) converge assolutamente in \(]-1,1[\); però per ogni indice \(n\) si ha:
\[
\sup_{x\in ]-1,1[} |x^n| =\sup_{x\in ]-1,1[} |x|^n = \sup_{x\in [0,1[} x^n =1
\]
perciò la serie numerica \(\sum \sup_{]-1,1[} |x^n|\) diverge e dunque \(\sum x^n\) non converge totalmente in \(]-1,1[\).
Come al solito siete velocissimi e chiarissimi!
Effettivamente questo dubbio mi è sorto in mancanza di un controesempio come il tuo...effettivamente qui la differenza è lampante!
Grazie mille, alla prossima!
Effettivamente questo dubbio mi è sorto in mancanza di un controesempio come il tuo...effettivamente qui la differenza è lampante!
Grazie mille, alla prossima!
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